Adaptive Modellierung und Simulation - Adaptive Systemarchitektur ...

2-6 Black-Box-Modellierung
yt = f(x1,x2,...,xk) = a0 + a1x1(t) + a2x2(t) + … + akxk(t) + ut. (2.9)
Dann ist dies auch als Skalarprodukt formulierbar eines Parametervektors in Spaltenform
mit dem Zeilenvektor der Variablen
yt = (1, x1(t), …, xk(t) ) (a0, a1, …, ak) T + ut = xa T + ut. (2.10)
Alle t = 1, ..., T Beobachtungen lassen sich dann zusammenfassen zu der linearen
Form
y = (y1, …, yT) T = Xa T + u. (2.11)
mit der Matrix X aus T Zeilen und k+1 Spalten. Um eine Identifizierung der k+1
Parameter ai zu ermöglichen, muss dabei der Rang der Matrix rang(X) = k+1 sein.
Das Minimum des erwarteten quadratischen Fehlers R(a) bezüglich der Schätzung
ˆy = f(a)= xa T wird erreicht, wenn die partielle Ableitung bezüglich jedes Parameters
ai null ist:
∂
∂a i
∂
R(a) =
∂a
i
1
T
T ⎛ ⎞
2
∑ ( y ˆ t − y)
= 1
⎜ ⎟
⎝ t= 1 ⎠
T
T
∑
t= 1
( − ˆ )
2 y y x
t ti
!
= 0 (2.12)
Da dies für alle i = 1,..., k+1 gilt, erhalten wir insgesamt k+1 Gleichungen mit k+1
Unbekannten. Die Lösung ergibt sich nach einigen Umformungen und Zusammenfassen
der ai zu dem Lösungsvektor a = (a0, ...,ak) T der Parameter
a = (X T X) -1 X T y ⇔ y = Xa (2.13)
2.2.4 Parameterbestimmung: TLMSE
Die Minimierung des quadratischen Fehlers bei der Approximation durch ein
lineares System ist eng verwandt mit dem Problem, eine unbekannte Funktion f(x)
in einem Intervall durch eine Gerade (allgemein: Hyperebene) F(x) mit dem
kleinsten quadratischen Fehler zu approximieren. Betrachten wir dazu in Abb. 2.3
einen verrauschten Messpunkt der unbekannten Funktion. Mit dem üblichen Kriterium
des quadratischen Fehlers wird in diesem Fall versucht, die erwartete Abweichung
〈(f(x)–y) 2 〉 so klein wie möglich zu machen. Dies ist aber nicht optimal.
Besser ist es, anstelle nur des vertikalen Abstand der Datenpunkte den erwarteten
tatsächlichen Abstand der Punkte senkrecht zu der Geraden (Hyperebene) zu minimieren
(Total Least Mean Squared Error TLMSE). Dazu betrachten wir die
geometrischen Verhältnisse in Abb. 2.4 genauer.