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22 Kapitel 2: Grundlagen
D = ɛ0ɛE = ɛ0E + P und (2.5a)
B = μ0μH = μ0 (H + M) (2.5b)
verknüpft. Des Weiteren beschreiben die Gl. 2.5a und 2.5b den Zusammenhang
zwischen elektrischer Polarisation P, Magnetisierung M des Mediums und der
Feldvektoren E und H. Die Dielektrizitätskonstante ɛ0 = 8,854 · 10 −12 Fm −1 und
die Permeabilität des Vakuums μ0 = 4π · 10 −7 NA −2 sind universelle Naturkonstanten.
Sie sind über die Beziehung
c = 1
√ ɛ0μ0
(2.6)
mit der Lichtgeschwindigkeit c = 2,99792 · 10 8 ms −1 verknüpft.
Aus den beiden Vektorgleichungen (Gl. 2.2 und 2.4) lassen sich durch Substitution
der beiden Beziehungen Gl. 2.5a und 2.5b die inhomogenen Wellengleichungen
herleiten:
∇×∇×E + 1
c 2
∇×∇×H + 1
c 2
∂ 2 E
∂t
2 = −μ0
∂
∂t
∂2H ∂M
= ∇×j + μ0
∂t2 ∂t
�
j + ∂P
�
+ ∇×M , (2.7)
∂t
+ ∇×∂P . (2.8)
∂t
Der Ausdruck in der Klammer von Gl. 2.7 kann als gesamte Stromdichte j tot
interpretiert werden. Hierzu wird die Stromdichte j in die Quellenstromdichte
j Q und in die Leistungsstromdichte j L aufgeteilt, so dass sich für die gesamte
Stromdichte der folgende Ausdruck ergibt:
j tot = j Q + j L + ∂P
∂t
+ ∇×M. (2.9)
Die Terme ∂P/∂t und ∇×M werden als die Polarisationsstromdichte bzw. als
die magnetische Stromdichte verstanden. Nach dem Ohm’schen Gesetz
j = σ · E (2.10)
ist die freie Stromdichte proportional zur elektrischen Feldstärke mit der materialabhängigen,
elektrischen Leitfähigkeit σ.
An einer Grenzfläche bedürfen die Lösungen der Maxwell’schen Gleichungen
noch einer Berücksichtigung der Stetigkeitsbedingungen:
� Eaußen(r) − E innen(r) � × n = 0, (2.11a)
� H außen(r) − H innen(r) � × n = 0. (2.11b)
Diese müssen für alle Ortsvektoren r auf der Grenzfläche erfüllt sein. Der Normalenvektor
der Grenzfläche wird hier mit n bezeichnet.