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2.2 Optische Rasternahfeldmikroskopie 29
der Wellennatur des Lichts und wird durch das Huygens-Fresnel’sche Prinzip
beschrieben. Dieses besagt, dass zu jedem Zeitpunkt jeder Punkt einer Wellenfront
als Quelle sphärischer Elementarwellen zu betrachten ist [44]. Wird eine
Lichtwelle durch ein Hindernis bezüglich ihrer Phase, bzw. Amplitude verändert,
so führen die verschiedenen Wellenfronten der Elementarwellen durch Interferenz
zu einem Beugungsmuster. Zwei Objekte, bzw. Lichtpunkte gelten daher
als optisch aufgelöst, wenn ihr Abstand nicht geringer ist als vom Maximum der
Beugungsfigur zu ihrem ersten Minimum (Rayleigh-Kriterium). Die mathematische
Beschreibung der Beugungsfigur, die eine Verteilung der Energiedichte
darstellt, wird durch das Fresnel-Kirchhoff’sche Beugungsintegral [26]
E(r) = k
�
4π i
A
dA EA(r ′ ) · eikr
r
(2.41)
beschrieben. Nach dem Huygens-Fresnel’schen Prinzip ergibt somit die phasenrichtige
Integration aller Elementarwellen die Feldamplitude E(r) am Punkt
r hinter dem Objekt. Die Integration verläuft hierbei über jeden Punkt r ′ der
Öffnungsfläche A eines beugenden Objektes. Abhängig vom Abstand z zwischen
der beugenden Fläche und der Beobachtungsebene kann das Beugungsintegral
Gl. 2.41 durch Näherungen gelöst werden. Ist der Abstand z klein gegenüber
der Abmessung der beugenden Fläche (z ≪ r2 /λ), dann beschreibt Gl. 2.41 die
sogenannte Fresnelbeugung oder Nahfeldbeugung. Für die Beugung an einer
kreisförmigen Öffnung wäre die Intensitätsverteilung proportional zum Betragsquadrat
der Feldamplitude. Im umgekehrten Fall (z ≫ r2 /λ) ergibt sich die
sogenannte Fraunhoferbeugung oder Fernfeldbeugung. Die Intensitätsverteilung
der gebeugten Welle ist dann
� �2 J1(ξ)
I(ξ) =I0 ·
(2.42)
ξ
mit ξ = k · d/2 · sin(θ), wobei J1(ξ) die Besselfunktion erster Ordnung ist. Die
erste Nullstelle der Intensitätsverteilung aus Gl. 2.42 ist ξ = 1,22π. Damit gilt für
den Durchmesser d eines abgebildeten Beugungsscheibchens:
d = 1,22 · λ
NA
(2.43)
mit der Wellenlänge λ des Lichts im Vakuum und der numerischen Apertur
NA [45, 46]. Die numerische Apertur ist durch
NA = n · sin(θ) (2.44)
gegeben, wobei n der Brechungsindex des Mediums, in dem mikroskopiert wird,
und θ der Öffnungswinkel des Objektivs ist. Das Auflösungsvermögen eines
konventionellen Lichtmikroskops kann daher durch die Verwendung von Licht