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2.1 Grundlagen der Elektrodynamik 23
Brechungsindex
Liegen keine freie Ladungen und Ströme vor, so vereinfachen sich die Wellengleichungen
(Gl. 2.7 und 2.8). Eine einfache Lösung der Maxwell’schen Gleichungen
wird dann durch Überlagerung von ebenen, elektromagnetischen Wellen der
Form
E(r,t) =E0e i(k·r−ωt)
und B(r,t) =B0e i(k·r−ωt)
(2.12)
beschrieben. Der Betrag des Wellenvektors
|k| = ω
c
ñ (2.13)
ist abhängig von der Kreisfrequenz ω der elektromagnetischen Welle und vom
komplexen Brechungsindex
�
ñ(ω) =n(ω)+iκ(ω) = ɛ(ω). (2.14)
mit Realteil n(ω) und Imaginärteil κ(ω). Der Brechungsindex kann nach Gl. 2.14
für nichtmagnetische Materialien (μ(ω) = μ0) direkt aus der dielektrischen
Funktion ɛ(ω) abgeleitet werden und beschreibt die optischen bzw. elektrischen
Eigenschaften der Materie. Für die komplexe dielektrische Funktion gilt:
ɛ(ω) =ɛ ′ (ω)+iɛ ′′ (ω) (2.15a)
ɛ ′ (ω) =n 2 (ω) − κ 2 (ω) (2.15b)
ɛ ′′ (ω) =2n(ω)κ(ω). (2.15c)
Hierbei geben ɛ ′ (ω) den Realteil und ɛ ′′ (ω) den Imaginärteil der dielektrischen
Funktion an. Liegt keine magnetische Eigenschaft des Materials vor (μ = 1), wie
z. B. im nichtmagnetischen Halbleiter, so folgt aus der Lösung der Maxwell’schen
Gleichungen
ñ 2 = ɛ ′ − i 4πσ
. (2.16)
ω
Dies liefert schließlich
n 2 = 1
2 ɛ′
⎛�
⎝ 1 +
� �2 4πσ
ωɛ
⎞
+ 1⎠
und κ 2 = 1
2 ɛ′
⎛�
⎝ 1 +
� �2 4πσ
ωɛ
⎞
− 1⎠
. (2.17)
Wenn die elektrische Leitfähigkeit gegen null strebt, wie z. B. in Isolatoren, dann
wird n ≈ √ ɛ und κ ≈ 0. Das Material wird transparent. Zwischen dem Brechungsindex
und der Bandlücke eines Halbleiters existiert die empirische Beziehung
[27, 28]:
n 4 · Eg = 77. (2.18)
Diese sogenannte Moss-Regel gilt für Halbleiter mit einem Brechungsindex
zwischen 2,4 und 4,5.