Untitled - Vysoká škola technická a ekonomická v Českých ...

Dedecius,K.,Kalová,J.,Kurcová,V.:Analytickézáklady 139Vteoretickématematiceexistujecelářadadalšíchměr,znichžproúčelypravděpodobnostijsoupodstatnédvěznich.PrvníjemíraLebesgueova 2 ,přiřazujícímnožinámeuklidovskéhoprostorudélku,plochuneboobjem.Příkladembudižmíraintervalu µ([a, b])=b − apro b > a.Druhouměroujemíraaritmetická,definovanájakopočetprvkůdanémnožiny.JinýmipříkladyměrjsoumíryDiracova,Radonova,Haarova,Hausdorffova,Borelova...NáhodnáveličinaZteoriepravděpodobnostiplyne,žejevymajípravděpodobnostnejméně0anejvíce1(neboli100%),nebolimírapravděpodobnostilibovolnéhojevujezintervalu[0,1].Zaveďmenynínáhodnouveličinu(„proměnnou”,jížjepřiřazenvýsledeknáhodnéhopokusu)trochujinýmzpůsobemnežjevzákladnímvýkladupravděpodobnostizvykem,asicespoužitímvýšeuvedenéteorie.Uvažujmenejprve,žejetřebaprovéstnějakézobrazeníz(Ω,A).Totozobrazeníseprovádídomnožinyreálnýchčísel,nanížjedefinovánarovněž σ-algebra(abybylazaručenaměřitelnost).Tato σ-algebrajetzv.Borelova 3 (značíme B),tedynejmenší σ-algebratvořenávšemiotevřenýmimnožinami.PrvkytakovéalgebrynazývámeBorelovymnožinyaspeciálnětedykroměotevřenýchmnožinjsoujimiimnožinyuzavřené,neboťjsoudoplňkymnožinotevřených,adálemnožinyjednostranněotevřené,kteréjsousjednocenímimnožinotevřenýchauzavřených.VýznamBorelovyσ-algebryjevnašempřípaděnásledující–pokudznámevlastnostimírypravděpodobnostinakaždémintervalu,pakumímepopsatjejívlastnostiinavšechBorelovýchmnožinách.ProtozavádímezobrazeníX:(Ω, A) →(R, B) (2)ježjenáhodnouveličinou.MíradefinovanánaBorelovýchmnožináchsenazýváBorelovoumírou.VýznammnožinnulovémíryMnožinanulovémíryjetakovámnožina A ∈ B,jejížmírajenulová.Vteoriipravděpodobnostijetatoskutečnostekvivalentníktvrzení,žeexistujejev A,kterýovšemnikdynenastane.Důležitouvlastnostítakovýchmnožinjefakt,žepřiprácisesystémem Btytomnožinynepředstavujípraktickyžádnéomezeníapřitomsepřisamotnémpočítánívětšinouneprojevují.PříkladembudižintegracepřesB,naněmžje f(A)sicenekonečná,alemánulovoumírualzejitedyignorovat.Komplikacenastávajíažpřiprácispodmnožinamimnožinnulovémíry,ovšemitylzepoměrnějednodušeřešit.Tatoproblematikajealemimorámecčlánku.2 Henri Léon Lebesgue (1875–1941) – francouzský matematik, jehož stěžejním dílem jeteorieintegraceřešícíproblémy,snimižsepotýkáRiemannůvintegrál.3 ÉmileBorel(1871–1956)–francouzskýmatematik,jedenzezakladatelůteoriemíryajejíaplikacevpravděpodobnosti.