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3. POLYOMINOS D'AIRE min + 1 92 - Nous choisissons une équerrre ou un polyomino coin minimal pour un coin du banc dans la diagonale choisie; ous choisissons une équerre ou un polyomino coin minimal pour l'autre coin du banc dans la diagonale choisie. Nous sommes donc en présence d'une structure multiplicative de la forme { équerre ou coin } x { banc } x { équerre ou coin } qui permet d'obtenir les polyominos d'aire min + 1 sur une diagonale. Pour obtenir les polyominos sur l'une ou l'autre diagonale, nous utilisons l'inclusionexclusion en prenant l'union des polyominos sur chaque diagonale et en soustrayant les polyominos appartenant aux deux diagonales. Les polyominos appartenant aux deux diagonales ont la structure multiplicative suivante, { équerre } x { banc } x { équerre }. Ceci implique que l'ensemble de tous les polyominos inscrits d'aire min + 1 est obtenu multiplicativement comme suit : fmin+l(b, k) = 2 { équerre ou coin} x { banc} x { équerre ou coin} - { équerre } x { banc } x { équerre }. La figure 3.22 illustre cette construction. Afin d'extraire la série génératrice Fmin+1(X, y), nous devons considérer séparément le cas des bancs dégénérés 2 x 2, car ces bancs possèdent des symètries qui sont absentes dans les bancs de plus grandes tailles. Cette description conduit à un théorème fondamental sur les polyominos d'aire min + 1. Théorème 3.7. Un polyomino est min+1 si et seulement s'il possède exac tement un banc. Démonstration. (=» Supposons P un polyomino min + l, si nous consz dérons P' un ri sous-polyominoi de P minimal. Un tel polyomino existe tou-
3. POLYOMINOS D' AIRE min + 1 93 FIGURE 3.22 - Construction d'un polyomino d'aire min + 1 jours. Supposons qu l'ajout d'une cellule de P à p' laisse inchangé le rec tangle circonscrit. Alors, l'ajout de cette cellule crée nécessairement un banc, et le nouveau polyomino P' U {c} est un min + 1. Maintenent, l'ajout suc cesif des autres cellules de P augment à chaque fois le format du rectangle circonscrit. Autrement, on aurait un polyomino d'aire min+ 2 ou plus. Il n'y aura donc pas de nouveau banc formé. Forme géométnqve cf"" poIyomlOO minimal coin Fomta géomé/tiqve d'un poIyomino min +1 FIGURE 3.23 - Formes géométriques des polyominos d'aire min et min + 1 ({=:) : Si P possède un banc alors P n'est pas minimun car la forme géomé trique des polyominos minimaux ne possèdent aucun banc (figure 3.23). Si P est min + 2 alors nous pouvons montrer que P possède deux bancs à
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UNIVERSITÉ DU QUÉBEC MÉMOIRE PR
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À mon Dieu .. . À la mémoire de
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Abstract The goal of the present wo
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Tous mes remerciements aux membres
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3. Polyominos d'aire minimal plus u
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LISTE DES TABLEAUX 1.1 ombre de pol
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3.13 Polyominos d'aire min + 1 avec
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1. I NTRODUCTIO N 2 Nombre de carr
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1. INTRODUCTION 4 Polyomino Non - p
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1. INTRODUCTION 6 FIGURE 1.6 - Poly
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1. INTRODUCTION 13 des polyominos b
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1. I NTRODUCTION 18 sous les condit
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1. INTRODUCTION 22 Finalement, nous
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Chapitre 2 Définitions Dans ce cha
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Séries génératrices 29 La foncti
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