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3. POLYOMINOS D'AIRE min + 1 57
Démonstration. Il s'agit de constater que les polyominos inscrits d 'aire
minimale plus un avec un carré 2 x 2 dans le coin supérieur gauche appar­
tiennent à l'un des deux ensembles suivants :
- l'ensemble A qui compte les polyominos d'aire minimale inscrits dans un
rectangle (b - 1) x (k - 1),
- l'ensemble B qui compte les polyominos d'aire min+ 1 contenant un carré
2 x 2 dans le coin supérieur gauche du rectangle, une rangée horizontal et
un vertical attachés au carré 2 x 2. Il existe quatre façons d'attacher les
rangées au carré. Comme les polyominos coins d'aire minimale contiennent
des équerres attachées au coin inférieur droit du carré 2 x 2, nous devons,
par le principe d'inclusion-exclusion, soustraire de l'ensemble B le cas des
deux rangées attachées au coin inférieur droit du carré 2 x 2.
En calculant l'union disjointe de A et B nous avons prouvé la proposition
3.2·4
Dans la figure 3.11, Fll-ll représente l'union disjointe des ensembles A et
B . Autrement dit,
Fll-ll(b, k) = AüB
A B
FIGURE 3.11 - Polyominos d'aire min + 1 avec un coin occupé par un carré
2 x 2