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5. CONCLUSION ET PERSPECTIVES 108
Cette technique était constituée de plusieurs étapes.
- La première étape est basée sur l'observation et la définition de différentes
classes de polyominos. Nous avons classé et séparé en sous-ensembles
chaque ensemble de polyominos pour être analysé et démontreé. Ils ont été
définis par rapport aux caractéristiques particulières définies formellement
dans le premier chapitre. Nous avons donc étudié, les polyominos d'aire
minimale.
- La deuxième étape correspond à la construction d'algorithmes géométriques
par récurrence de chaque sous-ensemble étudié pour les polyominos
coins diagonalement opposés.
- La troisième étape correspond à la construction de récurrences et la recherche
des séries génératrices pour les polyominos qui contiennent un
banc à différentes positions d'un rectangle b x k
- La quatrième étape correspond à la construction de la fonction génératrice
des polyominos d'aire min + 1 et les serpents de longueur min + 1.
Notre approche se base sur la méthode inductive qui commence par l'énumération
des polyominos d'aire minimale, passant par les polyominos coins,
ensuite les polyominos qui contientent un banc et finalement les polyominos
d'aire min + 1. Ceci correspond au schéma de la méthode présentée à la
figure 5.1.
Pour conclure, ce travail a été consacré à la recherche des formules d'énumération
des polyominos d'aire min + 1. Voici une répresentation graphique
comparative des principaux résultats (figure 5.2).
5.3 Perspectives
Évidement, le travail n'est pas ternimé. Il y a encore un long chemin à parcourir.
L'équipe de combinatoire travaille encore à l'énumération des polyominos
3D. Nous avons rencontré des chercheurs d'autre domaines (chimie)
avec l'espoir de trouver une application spécifique. On espère qu'à l'avenir
on découvrira un lien et des applications.
Les perspectives de l'équipe de combinatoire de l'Université du Québec à
Trois-Rivières, visent la généralisation aux polyominos 3D et l'étude des
polyominos d'aire min+2, min + 3, ... etc, de même que celle des polyominos