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3. POLYOMINOS D'AIRE min + 1 54 Démonstration. Il faut décomposer le dénombrement en deux étapes. La première étape permet de compter les polyominos formés par des déplace ments horizontaux ou diagonaux de cellules. La deuxième étape permet de compter les polyominos formés par des déplacements verticaux de cellules. Dans la figure 3.9, l'ensemble A montre un polyomino qui a sa première ligne du haut occupée, la dernière colonne de droite occupée, et la case située au-dessous du coin supérieur gauche occupée, et les polyominos coins d'aire min + 1 résultants du déplacement horizontal sur la seconde ligne de la case à gauche jusqu 'à l'avant-dernière position. L 'ensemble B contient les polyominos dont la première ligne est de la forme 1,0,0, .. . ,0, 1 et les polyominos coins d'aire min + 1 résultants du déplace ment diagonal vers la droite et le haut de la case située au dessous du coin supérieur gauche jusqu 'à l 'avant-dernière position. De toute évidence, dans l'ensemble C, le singleton contenant un banc dégé néré est compté deux fois, donc il faudra en enlever un plus tard. En effet, nous constatons que la cardinalité de l'union des ensembles A et B est: card(A u B) = 2(k - 1) Ensuite, dans la figure 3.10, l 'ensemble D , regroupe les polyominos dont la case située à gauche du coin inférieur droit se déplace verticalement, sur la deuxième colonne jusqu 'à l'avant-dernière position, et E rassemble les polyominos résultants du déplacement diagonal des cases de la colonne de droite de coin inférieur droit. Alors, nous constatons que la cardinalité de D uE est:
3. POLYOMINOS D'AIRE min + 1 55 FIGURE 3.9 - Polyominos d'aire min + 1 avec trois coins occupés. Étape 1 de la preuve de la proposition 3.2.3 card(D u E) = 2(b - 2) Autrement dit, il Y a 2(b - 2) polyominos coins dont la première ligne est de la forme (1,1, ... , 1,1) et en plus, il faut que les deux colonnes à droite contiennent au moins une cellule. Donc, nous avons compté 2(b - 2) + 2(k - 1) polyominos avec trois coins donnés occupés. Puisque nous avions compté deux fois le banc dégénéré dans l'ensemble C et il faut en retirer un. En conséquence, le nombre de polyominos d'aire min+ 1 occupant trois coins
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UNIVERSITÉ DU QUÉBEC MÉMOIRE PR
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À mon Dieu .. . À la mémoire de
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Abstract The goal of the present wo
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Tous mes remerciements aux membres
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3. Polyominos d'aire minimal plus u
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LISTE DES TABLEAUX 1.1 ombre de pol
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3.13 Polyominos d'aire min + 1 avec
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4. PROGRAMMES INFORMATIQUES POUR LE
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5. CONCLUSION ET PERSPECTIVES 108 C
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IICompter le nombre de composantes
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6. A NNEXES 122 TABLEA U 6.1 Compte
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6. ANNEXES 124 TABLEAU 6.1 Compteur
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Bibliographie [1] http :// www.les-
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