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Séries génératrices 43
La suite g(n) est donnée par,
g(n) = [1,4, 9,18, 35,66,123, 228 .... ]
En utilisant la méthode précédante, nous allons trouver la fonction génératrice
de g(n) . Posons,
G(x) = L g(n)x n
(2.31 )
alors,
G(x)
-xG(x)
-x 2 G(x)
- x 3 G(x)
En additionnant ces expressions;
G(x) - xg(x) - x 2 G(x)-x 3 G(x) =
n 2: 1
g(l)x + g(2)x 2 + g(3)x 3 + ... + g(n)x n
-g(l)x 2 - g(2)x 3 - g(3)x 4 - ... - g(n - l)x n
-g - (l)x 3 - g(2)x 4 - g(3)x 5 - ... - g(n - 2)x n
- g(l)x 4 - g(2)x 5 - g(3)x 6 - ... - g(n - 3)xn.
g(l)x + g(2)x 2 + g(3)x 3 + ... + g(n)x n
- g(1)x 2 - g(2)x 3 - g(3)x 4 - g(4)x5 - -g(n - l)x n
- g(1)x 3 - g(2)x 4 - g(3)x 5 - -g(n - 2)x n
- g(1)x 4 - g(2)x 5 - g(3)x 6 - g(4)X7 - ... - g(n - 3)xn,
G(x)(l- x - x 2 - x 3 ) = g(l)x + [g(2) - g(1)]x 2 + [g(3) - g(2) - g(1)]x 3
... + [g(n - 3) - g(n - 2) - g(n - 1) - g(n)]x n ,
G(x)(l - x - x 2 - x 3 ) = x 2 + 3x 3 + 4(x 4 + x 5 + ... + xn) ,
G(x)(l- x - x 2 - x 3 ) = x 2 + 3x 3 + 4x 4 (1 + x + x 2 + x 3 + ... ),
4x 4
G(x)(l - x - x 2 - x 3 ) = x 2 + 3x 3 + --.
(1 - x)
La fonction génératrice a la forme rationnelle suivante:
x 2 + 2x 3 + x 4
G(x) = (l-x)(l-x-x2 +x3 )