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3. P OLYOM INOS D' AIRE min + 1 64
a déjà été traité au début de la section précédente. Nous allons maintenant
traiter les cas deux et trois suivants.
Pour énumérer ces polyominos, il faut considérer les trois cas :
Cas 1 : Le carré est dans un coin (traité dans le chapitre 1) ;
Cas 2 : Le carré a des cases sur un bord du rectangle et n'est pas dans un
coin ;
Cas 3 : Le carré n'a pas de case sur un bord du rectangle.
Cas 2
Ce cas correspond aux polyominos qui ont un carré sur un bord sans être situé
dans un coin. La proposition suivante établit la récurrence pour quelques
polyominos d'aire min + 1 particuliers.
Proposition 3.3.1. Le nombre h x2y (b , k, b + k) de polyominos d'aire mini­
male plus un inscrits dans un rectangle b x k avec un carré 2 x 2 situé sur le
bord vertical du rectangle donné et la case inférieure gauche situé à hauteur
y sastifait la récurrence suivante :
h X2y(b, k, b + k) = f11 (b - y, k, b - y + k - l)fll (y, 2, Y + 1)+
f11(y , k, y + k - 1)fll(b - y,2,b-y + 1) (3 .18)
= 2fll (b - y, k, b - y + k - 1) + 2fll (y , k, Y + k - 1)
= 4 (b - y + k - 3) + 4 (y + k - 3) .
(3 .19)
k - 2 k-2
Démonstration. Pour dénombrer les polyominos h X2,y(b, k, b + k), nous
utilisons l'union disjointe de deux ensembles :
F2 x2y(b, k, b + k) = AUB (3 .20)
Pour obtenir ce résultat, il est indispensable de fractionner les polyominos de
chaque ensemble A et B en deux autres sous-ensembles (figure 3.12).