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1. I NTRODUCTION 18 sous les conditions initiales g(l) = O,g(2) = l,g(3) = 4 (1.16) Démonstration. La démonstration est présentée au chapitre deux. 1.4 Polyominos d'aire minimal inscrits dans un rectangle b x k Un autre catégorie de polyominos dont la définition est essentielle pour notre travail est celle des polyominos d'aire minimale. Ces polyominos occupent un rectangle de hauteur b, de largeur k et sont d'aire minimale. Cette aire minimale, ici n, satisfait la relation : n=b+k-1 (1.17) Un polyomino d'aire minimale est un escalier dont les extrémités « pouvent »être des équerres (voir figure 1.13 a), b) et c). Une équerre est constituée de deux rangées de cellules formant un angle droit Sinon, l'aire n'est plus minimale comme <strong>à</strong> la figure (1.13 d)). Dans un rectangle b x k, il Y a deux sortes d'escaliers. Les escaliers montants et les escaliers descendants. Définition 1.4.1. Un escalier est fait de marches. Les marches d'un escalier sont des segments horizontaux et les contre-marches des segments verticaux. Ici, un segment est une suite de cellules alignées. Pour construire un escalier nous devons respecter les étapes suivantes : - Nous choisissons d'abord le nombre r de lignes sur lesquelles nous plaçons les marches. Ceci se fait par des compositions de k + r - 1 en r parts, r=2 ... k-1; - Pour chaque composition, nous choisissons les r lignes sur lesquelles nous plaçons les marches. Il y a trois cas possibles. Le cas où il y a une marche
1. I NTRODUCTION 19 a. Équerre de départ b. Polyomino escalier c. Polyomino d'aire minimale d. Polyomino d'aire non-minimale FIGURE 1.13 - Polyomino d'aire minimale et non minimale sur la dernière ligne et la première ligne, les cas où une seule des lignes d'extrémité a une marche et le cas où aucune marche n'est sur une ligne d'extrémité. Chaque cas est considéré séparément. Une fois que la composition de longueur r et les r marches sont choisies, l'escalier est entièrement déterminé. Nous aurons besoin des deux résultats suivants. Proposition 1.4.1. Appelons Comp(n, r) l'ensemble des compositions de n en r parts non-nulles et comp(n, r) sa cardin alité. Nous avons: ( n-l) comp(n, r) = r _ 1 (1.18) L nl= (1.19) (nI , ... ,nr )ECamp(n,r)
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Bibliographie [1] http :// www.les-
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