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1. INTRODUCTION 22 Finalement, nous faisons une sommation sur tous les polyominos minimaux contenant au moins deux marches (équation 1.20). Positionnement des segments verticaux Positionnement des segments horizontaux FIGURE 1.15 - Placement de marches RectllnJlle FIGURE 1.16 - Marches d'un escalier 1.4.1 Sous-famille de polyominos d'aire minimale Nous revenons <strong>à</strong> la définition des polyominos coins. Proposition 1.4.2. Pour tout b ::::: 1 et k ::::: 1, le nombre hmin(b, k) de polyominos d ]aire minimale inscrits dans un rectangle b x k avec la case su- 11-2
1. INTRODUCTION 23 b/k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 4 8 12 16 20 24 28 32 36 3 1 8 25 50 83 124 173 230 295 368 4 1 12 50 120 230 388 602 880 1230 1660 5 1 16 83 230 497 932 1591 2538 3845 5592 6 1 20 124 388 932 1924 3588 6212 10156 15860 7 1 24 173 602 1591 3588 7265 13582 23859 39856 8 1 28 230 880 2538 6212 13582 27288 51290 91308 9 1 32 295 1230 3845 10156 23859 51290 102745 194240 10 1 36 368 1660 . 5592 15860 39856 91308 194240 388692 TABLEAU 1.3 - Nombre de polyominos d'aire minimale n = b+ k - 1 inscrits dans un rectangle b x k périeure gauche occupée satisfait la récurrence et la formule exacte suivantes: 0 si b = 0 ou k = 0, h(b, k) = 1 si b = 1 ou k = l, { 1 + h(b - l , k) + h(b, k - 1) autrement, ( b + k - 2) h(b,k)=2 b-l - l , Vb, k 2 1. (1.23) Démonstration. (=}) : Par hypothèse, les polyominos inscrits avec la case supérieure gauche occupée sont contenus dans l'ensemble de tous les polyomi nos d'aire minimale qui ont au moins une des deux cases adjacentes occupées. Il est facile de constater qu'il y a seulement un polyomino coin d'aire mi nimale avec les deux cases adjacentes occupées. Ce polyomino est l'unique équerre inscrite dont le coin est le coin supérieur gauche <strong>du</strong> rectangle b x k .
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Bibliographie [1] http :// www.les-
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