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Chapitre 4 Dans les pages suivantes nous présentons les algorithmes utilisés pour énumérer les polyominos d'aire min+ 1 et les programmes construits pour effectuer les calculs. Un organigramme illustrera la séquence des opérations. Programmes informatiques pour énummérer les polyominos d'aire min + 1 Nos résultats ont été vérifés à l'aide d'un programme informatique qui nous a founi le nombre de polyominos incrits dans un rectangle de dimension b x k. Ensuite, nous avons ajouté deux filtres pour compter les polyominos arbres d'où nous n'avons déduit les polyominos d'aire min + 1 pour notre étude. Pour atteindre ce résultat, une partie du programme informatique a été réalisée par l'étudiant à la maîtrise à l'UQTR Hugo Cloutier et une autre par Fathallah Nouboud, professeur du départament de mathématique et informatique et co-directeur de ce projet. Dans l'annexe 1, nous décrirons le code source du programme d'énumération des polyominos arbres et un compteur du degré des polyominos d'une à plusieurs feuilles . Organigramme des séquences des opérations La figure 4.1 répresente les séquences des opérations du programme maître. 4.1 Quelques chiffres intéressants La table 6.2 , ajoutée à l'annexe 3 compile les polyominos arbres dont les polyominos d'aire min+ 1 sont le sujet de ce mémoire. Ce programme permet la compilation des données testées du programme informatique présentées à
4. PROGRAMMES INFORMATIQUES POUR LES POLYOMINOS D' AIRE min+ll03 l'annexe 1. Ce programme compte le nombre de polyominos d'aire min et min+ 1 selon le nombre de feuilles et aussi selon l'aire et la taille du rectangle circonscri t. 4.2 Algorithme du programme Les polyominos arbres sont un sous-ensemble des polyominos. En effet, les arbres sont les polyominos qui n'ont pas de cycle. Alors, nous nous sommes basés sur ce principe pour créer le programme et ensuite compter seulement les polyominos d'aire min + 1. À la figure 4.2 nous répresentons les cases vides et occupées par des chiffres: zéro et un réspectivement. Principe des filtres utilisé Le principe est énoncé comme suit : il existe un chemin de zéros huitconnectés entre un zéro A dans le rectangle et un zéro B du bord du rectangle si et seulement si A n'est pas inclus dans un cycle (Figure 4.2). Démonstration. Nous allons prouver le principe par contraposition. A n'est pas dans un cycle si et seulement s 'il n'existe aucun chemin de zéros huit connectés entre un zéro A dans le rectangle et un zéro B du bord du rectangle. (====}) :Par hypothèses, A est pris dans un cycle. Alors, nous constatons tout de suite, qu 'en traçant un chemin des zéros huit-connectés à partir de ce zéro A à l'intérieur du rectangle, nous ne trouvons aucun chemin qui nous amène à un autre zéro sur le bord puisqu 'ils sont tous entourés du nombre un. Autrement dit, ces zéros ne sont pas huit-connectés. (
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UNIVERSITÉ DU QUÉBEC MÉMOIRE PR
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À mon Dieu .. . À la mémoire de
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Abstract The goal of the present wo
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Tous mes remerciements aux membres
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3. Polyominos d'aire minimal plus u
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LISTE DES TABLEAUX 1.1 ombre de pol
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3.13 Polyominos d'aire min + 1 avec
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1. I NTRODUCTIO N 2 Nombre de carr
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1. INTRODUCTION 4 Polyomino Non - p
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1. INTRODUCTION 6 FIGURE 1.6 - Poly
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1. INTRODUCTION 13 des polyominos b
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1. I NTRODUCTION 18 sous les condit
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1. INTRODUCTION 22 Finalement, nous
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Chapitre 2 Définitions Dans ce cha
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Séries génératrices 29 La foncti
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Séries génératrices 38 Pour obte
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Séries génératrices 43 La suite
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Chapitre 3 Dans le premier chapitre
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3. POLYOMINOS D' AIRE min + 1 47 FI
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