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Séries génératrices 38
Pour obtenir la fonction génératrice associée à la suite n 2 an , nous utilisons
le même argument mais en considérant xf'(x) dont les coefficients sont nan ,
ce qui conduit à :
et ainsi de suite. Chaque facteur n supplémentaire est obtenu en répétant
l'opération. En résumé, si on applique l'opérateur (d/dx) sur une suite, et
qu'on multiplie par x, alors pour chaque m 2 1,
La dérivée formelle d'une fonction génératrice est
2.5 Séries génératrices exponentielles
Les fonctions génératrices exponentielles sont utilisées pour compter des permutations
avec répétition limitée ou des distributions d'objets différents. Autrement
dit, ces suites sont utilisées lorsque l'ordre est important. Pour la
méthode de FGO [3] nous ne pouvons pas toujours trouver la formule exacte
d'une récurrence à coefficient non constant. Quelquefois, il faut recourir à une
autre fonction génératrice: l'exponentielle. On appelle Fonction génératrice
exponnentielle FGE de la suite (an) la série de puissances
Afin d'illustrer l'utilisation des FGE nous considérons l'exemple suivant.
Exemple Soit ao = 1 et la récurrence,
an+ 1 = (n + 1) (an - n + 1), n 2 o. (2.19)
Si n 2 0, trouvons la formule exacte pour an.
Nous ne pourrions pas trouver les an à l'aide des fonctions génératrices ordinaires.