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Chapitre 5
Conclusion et perspectives
La méthode d'énumération de polyominos employée a conduit à une nouvelle
technique qui évoque la visualisation des récurrences à partir des séquences
d'images et leur formalisation pour dénombrer les polyominos d'aire min+ 1.
5.1 Conclusion
De toute évidence, nous avons validé nos résultats avec l'aide de programmes
informatiques pour tester nos formules. Ces programmes nous ont donné des
suites numériques connues, publiées et décrites sur le site web OElS [91.
De fait , d'autres suites émanant de nos travaux n'apparaissent pas sur le
répertoire de ce site.
Alain Goupil et ses collaborateurs ont proposé des formules d'aire minimale
plus un pour les serpents et pour les arbres réticulés de trois à cinq feuilles.
Illustrons quelques chiffres intéressants dans la figure 5.2. Le nombre de
polyominos d'aire minimale plus un inscrits dans un rectangle b x k pour
k = 8 et b = 8 est 477464. Pour le même rectangle, il existe 27288 polyominos
d'aire minimale, 10296 serpents de longueur min + 1 et 49605487608825200
polyominos inscrits dans le rectangle 8 x 8 [111.
5.2 Apport de ce mémoire
Dans cette recherche, nous avons déduit des formules exactes pour les nombres
de polyominos d'aire minimale et minimale plus un utilisant des méthodes
d'énumération combinatoire. De la même manière, nous avons proposé et démontré
combinatoirement et géométriquement de nouveaux théorèmes pour
ces ensembles de polyominos.