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Résumé
En 1953, un mathématicien nommé Solomon Golomb a défini la notion de polyomino;
ce sont des objets géométriques conçus en reliant un certain nombre
de carrés par leurs côtés. Vous pouvez imaginer les polyominos comme des
objets solides que l'on peut saisir et déplacer dans l'espace. Il est possible de
créer de très nombreuses énigmes en utilisant les polyominos.
Présentement, de nombreux scientifiques essaient de découvrir la clé de ces
énigmes, un projet ambitieux. Notre équipe de combinatoire a réussi à faire
de belles découvertes, et dans ce mémoire, nous vous révélerons les arcanes
de l'énumération des polyominos d'aire minimale et minimale plus un.
L'objectif de notre travail consiste à énumérer les polyominos d'aire minimale
plus un, sous-ensemble des polyominos, par des méthodes combinatoires
connues.
Dans le premier chapitre, nous présentons les définitions et les classifications
des polyominos et une brève généralisation des polyominos minimaux.
Ensuite, dans le chapitre deux, nous décrirons l'algèbre des séries et des fonctions
génératrices ordinaires et exponentielles, un outil qui nous servira à
expliquer la modélisation des formules énumératives exactes des polyominos
d'aire minimale et d'aire minimale plus un, traitée dans le chapitre suivant.
Dans le chapitre trois, nous développerons une méthode combinatoire pour
énumérer les polyominos d'aire min + 1; leur série génératrice, leur généralisation,
leurs formules exactes d'énumération et quelques applications. Ce
chapitre est une révision du texte dénombrement de polyominos inscrits dans
un rectangle du directeur de ce mémoire (A. Goupil et al [10]).
Et finalement dans le chapitre quatre, nous présentons l'algorithme du programme
principal qui génère des polyominos sans cycle et le code source
du programme utilisé pour vérifier les formules exactes présentées dans ce
mémoire.
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