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1. I NTRODUCTION 18
sous les conditions initiales
g(l) = O,g(2) = l,g(3) = 4 (1.16)
Démonstration. La démonstration est présentée au chapitre deux.
1.4 Polyominos d'aire minimal inscrits dans un rec-
tangle b x k
Un autre catégorie de polyominos dont la définition est essentielle pour notre
travail est celle des polyominos d'aire minimale. Ces polyominos occupent
un rectangle de hauteur b, de largeur k et sont d'aire minimale. Cette aire
minimale, ici n, satisfait la relation :
n=b+k-1 (1.17)
Un polyomino d'aire minimale est un escalier dont les extrémités « pouvent »être
des équerres (voir figure 1.13 a), b) et c). Une équerre est constituée de deux
rangées de cellules formant un angle droit
Sinon, l'aire n'est plus minimale comme à la figure (1.13 d)). Dans un rectangle
b x k, il Y a deux sortes d'escaliers. Les escaliers montants et les
escaliers descendants.
Définition 1.4.1. Un escalier est fait de marches. Les marches d'un escalier
sont des segments horizontaux et les contre-marches des segments verticaux.
Ici, un segment est une suite de cellules alignées.
Pour construire un escalier nous devons respecter les étapes suivantes :
- Nous choisissons d'abord le nombre r de lignes sur lesquelles nous plaçons
les marches. Ceci se fait par des compositions de k + r - 1 en r parts,
r=2 ... k-1;
- Pour chaque composition, nous choisissons les r lignes sur lesquelles nous
plaçons les marches. Il y a trois cas possibles. Le cas où il y a une marche