Télécharger (5Mb) - Université du Québec à Trois-Rivières

3. POLYOMINOS D'AIRE min + 1 54
Démonstration. Il faut décomposer le dénombrement en deux étapes. La
première étape permet de compter les polyominos formés par des déplace­
ments horizontaux ou diagonaux de cellules. La deuxième étape permet de
compter les polyominos formés par des déplacements verticaux de cellules.
Dans la figure 3.9, l'ensemble A montre un polyomino qui a sa première
ligne du haut occupée, la dernière colonne de droite occupée, et la case située
au-dessous du coin supérieur gauche occupée, et les polyominos coins d'aire
min + 1 résultants du déplacement horizontal sur la seconde ligne de la case
à gauche jusqu 'à l'avant-dernière position.
L 'ensemble B contient les polyominos dont la première ligne est de la forme
1,0,0, .. . ,0, 1 et les polyominos coins d'aire min + 1 résultants du déplace­
ment diagonal vers la droite et le haut de la case située au dessous du coin
supérieur gauche jusqu 'à l 'avant-dernière position.
De toute évidence, dans l'ensemble C, le singleton contenant un banc dégé­
néré est compté deux fois, donc il faudra en enlever un plus tard. En effet,
nous constatons que la cardinalité de l'union des ensembles A et B est:
card(A u B) = 2(k - 1)
Ensuite, dans la figure 3.10, l 'ensemble D , regroupe les polyominos dont la
case située à gauche du coin inférieur droit se déplace verticalement, sur
la deuxième colonne jusqu 'à l'avant-dernière position, et E rassemble les
polyominos résultants du déplacement diagonal des cases de la colonne de
droite de coin inférieur droit.
Alors, nous constatons que la cardinalité de D uE est: