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Séries génératrices 42
Maintenant, nous allons trouver la formule exacte pour f(b), b 2 1, le nombre
de polyominos inscrits dans un rectangle b x 2. D'abord, développons la forme
rationnelle de l'équation 2.28. Nous démontrons le corollaire 1.3.6 du premier
chapitre. Nous procéderons par la méthode des fractions partielles. En factorisant
le polynôme 1 - 2x - x 2 et sachant que ses racines sont ;
on obtient,
rl = 1 + J2 et r2 = 1 - )2,
en extrayant le coefficient de x b dans cette expression on obtient la formule
exacte suivante,
(1 + v'2)b+l + (1 - y'2)b+l
f(b) = -2 + 2 (2.29)
Nous utiliserons la démonstration de la proposition 1.3.2 du premier chapitre
pour illustrer le développement de la fonction génératrice G(n) des polyominos
d'aire n inscrits dans n'importe quel rectangle de format b x 2 où la
hauteur b peut varier.
La suite g( n) des polyominos d'aire n inscrits dans un rectangle b x 2 satisfait
l'équation de récurrence:
g(n) = g(n - 1) + g(n - 2) + g(n - 3) + 4, (2 .30)
avec les conditions initiales g(l) = 0, g(2) = 1 et g(3) = 4.