Rekenen voor peuters - Toetswijzer

categorie en die maxima zullen in de regel niet gelijk zijn aan elkaar. Daardoor is de som van
de percentages in Figuur 4 ook niet gelijk aan nul.
Afstand tussen twee profielen
De verschillen tussen geobserveerd en verwacht profiel zoals in Figuur 3a zijn wel verbaal
omschreven, maar voor verder onderzoek is het noodzakelijk dat die verschillen ook
gekwantificeerd worden en bij voorkeur zo compact mogelijk. Het liefste met één getal dat op
een of andere manier de afstand uitdrukt tussen de twee profielen.
Er zijn veel mogelijke manieren om de afstand tussen twee profielen uit te drukken en wij
kiezen er een die in de statistiek populair is, namelijk de chi-kwadraatafstand. We illustreren
dit met de twee profielen uit Figuur 3a, waarvan de numerieke gegevens zijn ondergebracht in
Tabel 1. De getalswaarden die overeenkomen met Figuur 3a zijn weergegeven in de rij
‘behaald’, waarbij de verwachte score tussen haakjes staat. Zoals te doen gebruikelijk bij
contingentietabellen wordt deze rij echter ook gecompleteerd door een rij ‘niet behaald’: bij
de categorie ‘getal’ is de maximale score 107, de geobserveerde score is 35, dus heeft de
leerling 107 – 35 = 72 punten niet behaald.
behaald
niet behaald
Tabel 1. Geobserveerd en verwacht profiel
getal meten breuken totaal
35
(49.94)
72
(57.06)
24
(26.42)
37
(34.58)
11
61
(43.65)
41
(58.36)
120
150
totaal 107 61 102 270
Elk van de zes grijsgekleurde cellen in Tabel 1 bevat een geobserveerde score (Oi) en een
verwachte score (Ei) en de chi-kwadraatafstand tussen de twee profielen wordt gedefinieerd
als
6
2
2 ( O − E ) i i
X = ∑ = 20.83
i= 1 Ei
waarbij meteen de uitkomst van de formule voor de gegevens van Tabel 1 is ingevuld.
Het voordeel van een afstandsmaat is dat alle geobserveerde profielen met eenzelfde
totaalscore nu kunnen worden geordend in termen van hun gelijkenis met het verwachte
profiel (dat voor iedereen hetzelfde is). Maar we kunnen de profielen niet zomaar inwisselen
tegen de afstand tot het verwachte profiel: immers twee profielen die op dezelfde afstand
liggen van het verwachte profiel kunnen heel erg goed op elkaar lijken maar onderling ook
heel verschillend zijn. Wat het geval is, kunnen we niet meer uit de afstandsmaat afleiden.
Met de afstandsmaat op zichzelf kunnen we trouwens ook niet veel doen. In het voorbeeld
bedraagt de afstand 20.83, maar daarmee weten we nog niet of dit nu heel gewoon is of
eigenlijk toch wel een beetje aan de kleine kant of uitzonderlijk groot. Om zo een vraag zinvol
te kunnen beantwoorden, moeten we antwoord geven op de volgende vraag: hoe ziet de
verdeling van de chi-kwadraat afstanden eruit bij een totaalscore van 120 (en in de
veronderstelling dat het gehanteerde OPLM model geldig is)? Of meer in het algemeen:
kunnen we de overschrijdingskans van de gevonden waarde van 20.83 in die verdeling
bepalen?