Rekenen voor peuters - Toetswijzer

Indien die overschrijdingskans heel erg klein is, zeg 1%, dan weten we dat een chikwadraatafstand
van 20.83 of groter slechts in 1% van de gevallen voorkomt indien het model
voor deze leerling geldig is. Op grond van dit kleine percentage kunnen we ons geloof in het
model (voor die leerling) opzeggen, en besluiten dat er wat aan de hand is met die leerling.
Als de overschrijdingskans echter behoorlijk groot is, zeg 35%, betekent dit dat onder het
model een chi-kwadraatafstand van 20.83 of groter voorkomt in 35 % van de gevallen, en ons
besluit zal (waarschijnlijk) zijn dat we hier geen reden hebben om iets speciaals te signaleren.
Maar wat hier met een hoop woorden is omschreven is niets anders dan een statistische toets.
Hoe we die toets in concreto moeten uitvoeren beschrijven we hierna.
De verdeling van de chi-kwadraatafstanden tussen geobserveerde en verwachte profielen
De gedaante van Tabel 1 en van de formule die er op volgt zou kunnen suggereren dat de chikwadraatafstand
de theoretische chi-kwadraatverdeling volgt. Dat zou zo zijn indien de
rekentoets 270 items zou bevatten (het aantal items gelijk aan het grand total van de tabel),
maar hier is dat niet zo: het onderdeel Rekenen in de Eindtoets bestaat slechts uit 60 items.
We hebben dus geen theoretische basis om te beweren dat we de theoretische chi-kwadraatverdeling
(met 2 vrijheidsgraden) kunnen gaan gebruiken. De theoretische verdeling op
theoretische gronden afleiden is een moeilijke onderneming, maar gelukkig kunnen we
dankzij de beschikbaarheid van snelle computers de theoretische verdeling willekeurig dicht
benaderen door simulatietechnieken. We beschrijven kort hoe dit wordt gedaan.
We vertrekken van een gegeven totaalscore, bijvoorbeeld 120 zoals in het voorbeeld
hierboven. Als we de parameters van alle items in het OPLM model kennen kunnen we
berekenen hoe groot de kans is dat iemand met een totaalscore van 120 item 1 (met een
gewicht van 4) correct beantwoordt. Stel dat die kans 0.6 is. Dan gooien we (electronisch) een
muntstuk op dat precies een kans van 0.6 heeft om ‘Munt’ op te leveren. Gebeurt dit, dan
noteren we een correct antwoord op item 1, gebeurt het niet dan noteren we een fout
antwoord. Als het antwoord op het eerste item correct was, dan moet de gesimuleerde leerling
nog 120 – 4 = 116 punten behalen op de 59 overblijvende items; was het eerste item fout dan
moet hij op de overblijvende 59 items alsnog een score van 120 behalen. En de procedure kan
zich dus herhalen voor item 2, enzovoort tot alle items beantwoord zijn. Als de gesimuleerde
persoon alle items heeft beantwoord kunnen we zijn geobserveerd profiel berekenen en dus
ook de chi-kwadraatafstand tot het verwachte profiel. De details over het berekenen van de
kans op een goed antwoord worden beschreven in Appendix B van dit rapport.
Als we de hele procedure van de vorige alinea een groot aantal keren herhalen, bijvoorbeeld
30,000 keer, dan beschikken we over 30,000 chi-kwadraatafstanden waarvan we de
cumulatieve frequentieverdeling kunnen tekenen. Dit hebben we ook inderdaad gedaan, en het
resultaat staat in Figuur 5, samen met de theoretische cumulatieve chi-kwadraatverdeling met
twee vrijheidsgraden.
12