Rekenen voor peuters - Toetswijzer

Appendix A: verwachte profielen
Het OPLM wordt gekarakteriseerd door de volgende item respons functie voor item i:
exp[ a ( θ − β )]
i i
f ( θ) = P( X = 1| θ)
= i i
1+ exp[ a ( θ −β)]
i i
We definiëren
ε = exp( − a β )
i i i
Veronderstel dat de items zijn opgedeeld in C categorieën, en voor elke categorie c definiëren
we de verzameling
E = { ε | item i behoort tot categorie c}
c i
en haar complement
Ec= { ε | ε ∉ E }
i i c
De verzameling parameters voor alle items in de toets duiden we aan met E. Uit de theorie
over de conditionele maximum likelihood schatting in het OPLM zijn genoegzaam de zogenaamde
combinatorische basisfuncties bekend:
k
xi
γ ( ε , … , ε ) = ε
s 1 k ∑∏ i
waarin
k
∑
i=
1
18
(*) i=
1
(*) betekent: ax = s, ( x∈{0,1})
i i i
Het argument van deze functies is dus een rijtjeε ’s, en de functie is symmetrisch; derhalve
kunnen we voor een willekeurige verzamelingε -parameters ook kortweg de functie
aanduiden als ( ) s E γ . Voor een gewogen score s kleiner dan nul of groter dan de maximaal te
behalen score definiëren we dat de functie de waarde nul aanneemt. Op die manier is de
functie gedefinieerd voor alle gehele getallen.
Voor een gegeven toetsscore s en een deelscore sc op de deeltoets die bestaat uit de items van
categorie c is de kans op sc conditioneel op s gegeven door
γ ( E ) γ ( E )
sc c s−s c
c
PS ( = s| s)
=
c c
γ ( E)
s
waaruit dan direct volgt dat de verwachte waarde van de deelscore op categorie c items
conditioneel op de totaalscore s gegeven is door
Mc
∑
ES ( | s) = jPS ( = j| s)
c c
j=
0
waarin Mc de maximale deelscore is in categorie c.
Het is wellicht instructief het speciale geval te beschouwen waar alle items hetzelfde gewicht
en dezelfde moeilijkheid hebben. Zij k het totaal aantal items in de toets, en kc het aantal items
in categorie c, dan is de kans op deelscore sc gegeven door
⎛kc⎞⎛k−kc⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟
s s−s c c
PS ( = s| s)
=
⎝ ⎠⎝ ⎠
c c
⎛k⎞ ⎜ ⎟
⎝s⎠ d.w.z., Sc volgt de hypergeometrische verdeling.