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Carlos Humberto Martins & Helena M. C. Carmo Antunes
O elemento quadrangular pode ser obtido facilmente pela composição de quatro
elementos triangulares DKT, quando colocam-se os parâmetros internos, comuns aos
elementos, em função dos seus parâmetros externos, através da condensação estática.
Condensação estática
Figura 12 - Elemento quadrangular formado a partir de 4 elementos DKT
A relação entre forças nodais { f } e deslocamentos { δ }, do quadrilátero, pode ser
escrito da seguinte forma :
[ K]{ δ } = { f}
( 13 )
Esta expressão pode ser reescrita, distinguindo-se os parâmetros externos
localizados nos vértices do quadrilátero {δ e }, dos parâmetros internos do ponto médio
{δ i e, fazendo-se o mesmo para o vetor de cargas. Desta forma:
[ K ] [ K ]
[ K ] [ K ]
{ δ
e }
{ δ }
{ f
e }
{ f }
⎡
⎤⎧
ee 12 x12 ei 12 x3
⎪ ⎫
12 x1
⎪
12 x1
⎢
⎥⎨
⎬
⎣⎢
ie 3x12 ii 3x3
⎦⎥
⎩⎪ i 3x1
⎭⎪ = ⎧ ⎨ ⎪ ⎫⎪
⎩ ⎪ ⎬ ( 14 )
i 3x1
⎭⎪
Efetuando-se os produtos matriciais da equação anterior, obtém-se:
{ fe} = [ Kee]{ δe} + [ Kei]{ δ
i}
( 15 )
f = K δ + K δ ( 16 )
{ } [ ]{ } [ ]{ }
i ie e ii i
Da equação ( 16 ) pode-se obter {δ i } da seguinte maneira :
−1
{ δi} = [ Kii] {{ fi} −[ Kie]{ δe}
}
Substituindo-se agora a equação ( 17 ) em ( 15 ), obtém-se :
( 17 )
Definindo:
a equação ( 18 ) fica :
−1 −1
{ fe } − [ Kie ][ Kii ] { fi } = {[ Kee ] −[ Kei ][ Kii ] [ Kie ]}{ e }
−1
{ f } = { f } −[ K ][ K ] { f }
c e ei ii i
−1
[ K] = [ K ] −[ K ][ K ] [ K ]
c ee ei ii ie
{ f } [ K] { }
c c e
δ ( 18 )
( 19 )
( 20 )
= δ ( 21 )
onde [K] c representa a matriz de rigidez condensada do quadrilátero de ordem 12x12,
função apenas dos parâmetros externos. Deve-se observar que as forças nodais também
foram modificadas, pois se eliminou os parâmetros internos.
4 MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DA ESTRUTURA
A matriz de rigidez global do edifício é obtida através da contribuição das
rigidezes de todos os seus elementos estruturais componentes (elementos de placas e
barras).
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 38, p.83-106, 2007