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Carlos Humberto Martins & Helena M. C. Carmo Antunes
Desta classe de elementos, nota-se que na análise de placas delgadas que o DKT
tem-se mostrado seguro e numericamente preciso em variadas análises estáticas e
dinâmicas, como pode ser observado em BATOZ.
A formulação do elemento DKT baseia-se em BATOZ e JEYACHANDRABOSE
(1985). Porém detalhes da formulação da matriz de rigidez desse elemento finito
envolvem complexas expressões. Portanto, apresenta-se aqui uma formulação sucinta.
A teoria de placas com consideração de deformação por esforço cortante é o ponto
de partida para a formulação. A hipótese clássica de Kirchhoff para placas delgadas
(“pontos da placa originalmente normais à superfície média indeformada, permanecem
normais à superfície média deformada”), é imposta discretamente ao longo dos lados do
elemento. A parcela da energia de deformação relativa ao esforço cortante é finalmente
desprezada, havendo a convergência para o modelo clássico de Kirchhoff para placas
delgadas.
Sendo assim, ao se considerar somente a energia de deformação referente à
flexão, teremos a expressão da energia de deformação para um elemento dada por:
1 t
U = ∫ { k} [ D] { k}
dYdZ
( 1 )
f
2
A
Para a obtenção da matriz de rigidez do elemento DKT, admitem-se inicialmente
as seguintes hipóteses :
a) As rotações β Y e β Z variam quadraticamente no elemento.
b) A hipótese de Kirchhoff é imposta nos pontos nodais dos vértices e nos pontos
médios dos lados.
- Nós dos vértices (Nós 1,2 e 3 )
⎡β
+ ⎤
{ γ}
= ⎢
⎣β
+
⎥
⎦
= ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ Y
w
' Y
0
⎦ ⎥ ( 2 )
Z
w
' Z
0
- Nós do meio de lado (Nós 4,5 e 6 )
β sk
+ w
' sk
= 0 ( 3 )
Figura 11 - Disposição dos nós e coordenadas adimensionais ξ e η
do elemento triangular DKT
c) A variação de w é cúbica ao longo dos lados do elemento.
Em coordenadas genéricas, a função w num lado ij qualquer fica:
3 1 3 1
w' sk
=− wi
− w' si+ w
j
− w'
2l
4 2l
4
ij
ij
sj
( 4 )
d) Impõem-se uma variação linear β n (rotação na direção normal), ao longo dos lados.
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 38, p.83-106, 2007