III WVC 2007 - Iris.sel.eesc.sc.usp.br - USP

WVC'2007 - III Workshop de Visão Computacional, 22 a 24 de Outubro de 2007, São José do Rio Preto, SP.d onúmero de características que se deseja selecionar.A Fig. 1 mostra um exemplo. Uma característica éremovidaem cada níveleosnós folha representam ossubconjuntos de tamanho d. Onível da árvore, representadopor k, indica o número de características removidas.k = 0 para a raiz e k = D − d para as folhas. Amaneiracomoaárvore éconstruída, mostrada a seguir,impede a repetição de subconjuntos. q k éonúmero defilhos ou ramificaçõesdeumnódonível k. Onóraizdeve possuir q 0 = d+1 filhos. Cada nó filhorecebeumanumeração p, iniciadaemzerodaesquerdaparaadireita,e deve possuir q k = q k−1 −p filhos, sendo que q k−1éonúmero de filhos do nó pai. Em cada nó éremovidaa característica f k .Naraiz,f 0 = 0. Para o restantedos nós, f k = f k−1 + p + 1. O subconjunto correspondentea cada nóserá X k = Y \{f 1 ,f 2 ,...,f k },istoé, todasascaracterísticascom exclusão de {f 1 ,f 2 ,...,f k }.A busca é realizada em profundidade da direita paraa esquerda. A pontuação b k do subconjunto é determinadapela chamada da função critério: b k = J(X k ).Quando a busca chega ao primeiro nó folha, a pontuaçãomáxima b ∗ e o subconjunto ótimo X ∗ são atualizados:b ∗ ∗= b D−d , X = X D−d . Quando a busca chegaa outros nós folha e se b D−d > b, ∗ a atualização de b∗e X ∗ é feita da mesma maneira. Pode não ser necessáriaa avaliação de todos os nós. Devido a monotonicidadede J(·), b k ≥ b k+1 . Portanto, sempre que é encontradoum nó com pontuação b k ≤ ∗ b, ocorre a poda, ouseja,todooramodaárvore que parte desse nó podeser descartado. No pior caso, quando não ocorre nenhumapoda, o número de chamadas de J(·) é ( D+1d+1).Oqueé muito mais do que o número de chamadas realizadasna busca exaustiva, que é ( Dd). Com as diversasmelhorias já propostas, dificilmente a busca exaustivasupera o BB em eficiência.4.2. Branch-and-Bound OrdenadoUma melhoria é apresentada juntamente com a propostadoBBbásico[8]. Uma modificação na construçãoda árvore coloca a remoção das piores característicasmais à direita e as melhores, mais à esquerdada árvore. Como a busca é iniciada pela direita, hámais chance de pontuações altas serem encontradasmais cedo nas folhas. E as podas ficam mais prováveisem nós do lado esquerdo, levando a mais descartes,pois há mais ramificações nesse lado da árvore.Para construir a árvore dessa maneira, um conjuntoW = {w 0 ,w 1 ,...,w r } deve ser utilizado para armazenaras r características que ainda estão disponíveispara remoção. Inicialmente, W = Y . Antes de cada ra-Figura 1. Árvore para o BB básico com D =5e d =2.mificação de um nó donível k, as características presentesem W devem ser testadas: v n = J(X k \{w n }),n =1,...,r.OselementosdeW devem ser ordenadosde maneira crescente de acordo com as pontuaçõesv n .Asq k primeiras características dessa ordenação sãousadas para formar os nós seguintes e removidas de W .Quando ocorre o backtracking da busca em profundidade,as características devem retornar a W .Apesardaintenção ser diminuir o número de chamadas de J(·),o resultado pode ser o oposto, pois o número de descartespode não superar o aumento causado na ordenação.4.3. Árvore de Busca MínimaNa árvore do BB, há nós com apenas uma ramificaçãoaté onó folha. Por exemplo, os nós dos subconjuntos{1, 2, 4, 5} e {1, 3, 5} daFig.1.Seosubconjuntodesse nó é avaliado, há a possibilidade de descartede apenas um nó folha. Portanto, é mais convenientea busca ir diretamente ao nó folha, gerando umaárvore de busca mínima [14]. Além da redução de chamadasde J(·) ser considerável, o cálculo para os subconjuntosdas folhas, por serem menores, émaisrápido.Porém, isso impede o uso da recursão para essesramos.4.4. Branch-and-Bound RápidoPartindo do BB ordenado e utilizando a árvorede busca mínima, o BB rápido [13] procura diminuiro número de chamadas de J(·) por meio de previsões.Primeiro o algoritmo determina o quanto cadacaracterística contribui para a redução da pontuaçãoquando tal característica éremovidadeumsubconjunto.Isso é feito durante o percurso pela árvore. Um96