III WVC 2007 - Iris.sel.eesc.sc.usp.br - USP

WVC'2007 - III Workshop de Visão Computacional, 22 a 24 de Outubro de 2007, São José do Rio Preto, SP.milares, sendo que o principal diferencial destes são oscritérios utilizados para a junção de regiões: minimizaçãode um funcional de energia [10, 8] versus uma heurísticapara determinar bordas [4].O funcional de Mumford-Shah [10, 8] é um dos métodosmais robustos para segmentação de imagens. A robustezdeste método é atribuída a sua formulação matemática quetem embutido critérios simples, e, no entanto, essenciaispara uma boa segmentação. Ao passo que o método de grafosproposto por [4] tem a vantagem de ter bons resultadosde segmentação, tanto em eficiência quanto em eficácia.Neste artigo, é realizada uma comparação analítica dasduas abordagens, onde por meio de resultados das técnicasaplicadas em imagens, e de aspectos de implementação eoperabilidade, serão verificados as vantagens e desvantagensde cada método.2. O Modelo de Mumford-ShahA maioria dos algoritmos de segmentação de imagenssão compostos de vários procedimentos: dividir e combinar(split and merge), eliminar pequenas regiões, suavizar bordas,preencher buracos, entre outros, dependendo assim devários parâmetros ou procedimentos específicos.O procedimento de segmentação via o funcionalde Mumford-Shah leva a uma drástica redução destesparâmetros ou especificidades [8]. A segmentação éobtida através da minimização da energia do referido funcional,o que pode ser feito através de uma das maissimples ferramentas de segmentação de imagens, o algoritmode crescimento de regiões (region merging).Koepfler [8] mostrou que é possível elaborar um algoritmode segmentação via Mumford-Shah de complexidadeO(n log n), onde n éonúmero de pixels da imagem.O funcional de Mumford-Shah [9] é descrito pelo funcionalde energia denotado pela equação abaixo:∫ ∫E(u,∫K)∫= (1)β ‖u − g‖ 2 dxdy + α ‖∇‖ 2 dxdy + γ ∗ l(K)ΩΩ/konde:• E(u, K) é a energia funcional de Mumford-Shah emfunção da imagem segmentada u e de suas fronteirasK;• g é a imagem a ser segmentada;• Ω é o domínio da imagem: f : N × N ↦→ N;• K denota as fronteira entre regiões;• Ω i denota uma região da imagem;• l(K) calcula o comprimento das bordas (fronteiras entreregiões);• u denota a imagem segmentada – uma função diferenciavéldentro de cada região Ω i ;• β, α e γ são constantes positivas;Em uma imagem, a função g é suave (valor de gradientepequeno) dentro de cada região Ω i e descontínua (valor degradiente elevado) no cruzamento com as bordas (fronteirasentre regiões). Considerar que a imagem segmentada ué constante dentro de cada região é uma forma de simplificaro modelo original de Mumford-Shah, o que resulta emum modelo conhecido como Mumford-Shah Fraco. Normalmente,a função u, para uma dada regiões, é dada pelamédia dos valores de intensidade g (ou cor) naquela região.2.1. Interpretações e propriedades dasegmentação via Mumford-ShahNormalmente quando se segmenta uma imagem desejaseque: a) a imagem segmentada seja a mais próximapossível da imagem original; b) pixels dentro de umadada região sejam similares com relação a uma dada característicae c) bordas regulares. Será visto mais adianteque todos estes critérios estão embutidos no funcionalde Mumford-Shah.Na segmentação por Mumford-Shah as regiões são formadaspor grupos de pixels e podem serem vistas comoborrachas. Uma região cresce enquanto a borracha puderser esticada. No início do processo pode-se considerar quecada região corresponde a um pixel que posteriormente éfundida a outra região (esticar borracha). Quanto maior avariação dos pixels dentro de uma região, menor a elasticidadeda borracha, ou seja, mais difícil é a união de regiões.Só será realizado uma união de regiões se esta levar a umdecréscimo de energia conforme a equação 1.A segmentação pelo funcional de Mumford-Shahtambém pode ser vista como um problema de otimizaçãomulti-objetivos, ou melhor, de minimização dos três objetivosexplicados à seguir, dados pelos termos da equação1. As regiões realizam uma competição entre si para afusão, sendo que, a cada instante, as duas regiões adjacentesque levarem ao maior decréscimo de energia serão aseleitas para a fusão.Os termos da equação 1, que correspondem aos objetivosa serem otimizados, podem ser interpretados do seguintemodo:• ∫∫ Ω ‖u − g‖2 – mede se u é uma boa aproximação deg. Quanto mais a função u se aproximar da função g,menor será a contribuição desse termo para o valor daenergia. Ou seja, minimizar este termo força u a ser omais próximo possível de g.• ∫∫ Ω/k ‖∇u‖2 – calcula a variação de u dentro de cadaregião. Minimizar este termo força u a ser tão constantequanto possível dentro de uma dada região. No47