Các bài toán tạp chí Kvant 2012 - Dong Thap in South Vietnam • Portal

Đề ra kì này - Tạp chí Kvant số 02-2009
Nhóm dịch thuật Kvant - http://mathvn.org
06 - 2009
M2124. Cho số tự nhiên n ≥ 3 và x1, x2, ..., xn là các số dương thỏa mãn đẳng thức
x 2 1 − x1x2 + x 2 2 = x 2 2 − x2x3 + x 2 3 = ... = x 2 n−1 − xn−1xn + x 2 n = x 2 n − xnx1 + x 2 1
Hỏi với những giá trị nào của n thì có thể khẳng định x1 = x2 = ... = xn.
V. Senderov.
M2125. Nội tiếp trong một tam giác ABC đường tròn ω tiếp xúc với cạnh CA, AB
tại các điểm B1, C1. Điểm D, khác B1, C1, nằm cách A một khoảng bằng AC1. Đường
thằng DB1, DC1 cắt lần thứ hai với đường tròn ω tại B2, C2. Chứng minh rằng B2C2
là đường kính của ω vuông góc với DA.
P. Zhenodarov.
M2126. Tại một buổi tiệc, cần sắp xếp 20 người vào 4 bàn. Cách sắp xếp chỗ ngồi
là tốt nếu 1 người bất kì luôn tìm được một người bạn ngồi cùng bàn với người đó.
Người ta nhận thấy rằng tồn tại các cách sắp xếp tốt, và với mỗi cách sắp xếp tốt thì
mỗi bàn ngồi đúng 5 người. Tìm số cặp bạn bè lớn nhất có thể có giữa 20 người này.
P. Kozhevnikov.
M2127. Bên trong của một nhánh của hyberbola cho bởi phương trình x = � y 2 + 1
đặt các đường tròn ω1, ω2, ω3... sao cho với mỗi n>1, đường tròn ωn đường tròn tiếp
xúc với hyperbola tại hai điểm và tiếp xúc với đường tròn ωn−1, còn đường tròn ω1 có
bán kính 1, tiếp xúc với hyperbol tại điểm (1, 0). Chứng minh rằng với bất kì số tự
nhiên n nào thì đường tròn ωn luôn có bán kính là một số tự nhiên.
V. Rastorguev.
M2128. Vasia đánh dấu 10 ô trên một bảng kẻ ô vuông 10 × 10. Phải chăng cậu
ta luôn có thể cắt ra từ bảng này theo các đường kẻ dọc hoặc ngang ra được 19 hình,
mỗi hình trong đó thuộc vào 4 dạng như hình vẽ, để các hình này không chứa bất kì ô
nào đã được đánh dấu.