Các bài toán tạp chí Kvant 2012 - Dong Thap in South Vietnam • Portal

Đề ra kì này - Tạp chí Kvant số 03-2009
Nhóm dịch thuật Kvant - http://mathvn.org
08 - 2009
M2131. Kí hiệu a ∧ b thay vì a b , ta đặt số cặp dấu ngoặc cần thiết vào biểu thức
7 ∧ 7 ∧ 7 ∧ 7 ∧ 7 ∧ 7 ∧ 7, và dễ thấy cần đúng 5 cặp . Hỏi phải chăng có hai cách sắp
các cặp dấu ngoặc khác nhau mà cùng nhận một giá trị.
A. Tolbygo.
M2132. Trên mặt phẳng cho một số điểm sao cho không có 3 điểm nào trong
chúng thẳng hàng. Một vài điểm trong đó được nối với nhau bằng các đoạn thẳng.
Biết rằng bất kì đường thẳng nào không đi qua các điểm đa cho, luôn cắt một số chẵn
các đoạn thẳng nối. Chứng tỏ rằng mỗi điểm đã cho là đầu mút của một số chẵn các
đoạn thẳng.
Y. Bogdanov, G. Galperin
M2133. Một lâu đài được bao quanh bởi tường thành vòng tròn, được sắp quanh
đó 9 tòa tháp canh, tại mỗi tháp canh có một hiệp sĩ bảo vệ. Cứ sau mỗi giờ, mỗi hiệp
sĩ di chuyển sang tháp canh bên cạnh. Đến tối họ hoàn tất công việc canh gác. Biết
rằng đó là giờ mà tại mỗi tháp canh đã có ít nhất 2 hiệp sĩ trực gác, và cũng là giờ mà
có đúng 5 tháp canh, tại mỗi pháp đã chỉ có 1 hiệp sĩ từng trực gác. Chứng minh rằng
đó cũng là giờ mà có một tháp canh ngoại trừ giờ đầu tiên thì hoàn toàn không có
hiệp sĩ canh gác.
M. Murashkin.
M2134. 3 mặt phẳng chia một hình bình hộp chữ nhật thành 8 hình sáu mặt (mỗi
mặt phẳng cắt các cặp mặt biên đối diện) . Chứng tỏ rằng nếu có một trong các hình
sáu mặt này ngoại tiếp một mặt cầu mỗi hình đó đều có thể ngoại tiếp bởi một mặt
cầu.
V. Proizvolov.
M2135 Một số tự nhiên được gọi là "tốt" nếu như sau khi viết vào bên trái số đó
một số có tận cùng là 2009 số 0 thì thu được số chính phương. Với giá trị nào của n
thì tồn tại số "tốt" có n chữ số nhưng không phải là số chính phương.
N. Agakhanov
M2136. Chứng minh với 0 ≤ k, l < n thì � � � � n n
, có ước chung lớn hơn 1.
k l
Sưu tầm