Các bài toán tạp chí Kvant 2012 - Dong Thap in South Vietnam • Portal

Đề ra kì này - Tạp chí Kvant 05-2005
Nhóm dịch thuật Kvant - http://mathvn.org
07 - 2010
M1966. Chứng minh rằng nếu số 11...11
hết cho 121.
V. Senderov.
� �� �
n số 1
2 �11...11 �� � chia hết cho 11 thì nó cũng chia
n số 1
M1967 Trong một bộ 11 quả cân với khối lượng khác nhau là các số nguyên dương
gramme. Biết rằng tổng khối lượng 7 quả cân nào đó thì lớn hơn tổng khối lượng 4
quả cân còn lại. Tìm giá trị bé nhất có thể của tổng khối lượng của tất cả các quả cân
trong bộ này.
O. Podlinskij, I. Bogdanov.
M1968. Mỗi đỉnh tứ giác lồi Q sao cho khi đối xứng qua đường chéo thì tứ giác
không chứa đỉnh này. Các điểm nhận được bằng phép đối xứng là đỉnh của tứ giác Q ′ .
a. Chứng minh rằng nếu Q là hình thang thì Q ′ cũng là hình thang.
b. Chứng minh tỉ số diện tích của Q ′ với Q bé hơn 3.
L. Emeljanov.
M1969. Trên mặt sau mỗi trong 2005 cái thẻ viết mỗi số khác nhau. Sau một lần
hỏi có thể biết được tập hợp các số viết ở 3 cái thẻ bất kì trong đó. Hỏi số câu hỏi tối
thiểu để có thể biết chắc được số nào được viết trên mỗi cái thẻ.
I. Bogdanov.
M1970. Tồn tại hay không một tam thức bậc hai f(x) mà với bất kì số nguyên
có đúng 2n nghiệm thực phân biệt?
dương n thì phương trình f (f (...f(x))) = 0
� �� �
n lần
A. Tolpigo.
M1971. Trên bảng kẻ ô vuông 2 × n ghi các số dương sao cho trong mỗi cột thì
tổng của hai số của nó bằng 1. Chứng minh rằng, có thể bỏ đi một số trong mỗi cột
n + 1
để trên mỗi hàng các số còn lại có tổng không vượt quá .
4
E. Kylikov.
M1972. Trên mặt phẳng cho tập hợp vô hạn các đường thẳng L mà không có hai
đường thẳng nào song song. Biết rằng nếu bỏ một hình vuông có cạnh là 1 trên mặt