Các bài toán tạp chí Kvant 2012 - Dong Thap in South Vietnam • Portal

Đề ra kì này - Tạp chí Kvant 06-2005
Nhóm dịch thuật Kvant - http://mathvn.org
07 - 2010
M1976. Giả sử N là số nguyên dương bất kì. Chứng minh rằng trong cácg viết hệ
thập phân của hoặc là số N hoặc là 3N có tìm được một trong các số 1, 2, 9.
P. Zhenodarov.
M1977. Trên hàng đầu tiên của bàn cờ vua đặt dãy 8 quân hậu màu đen và trên
hàng cuối cùng đặt 8 quân hậu màu trắng. Hỏi sau tối thiểu bao nhiêu nước đi thì các
quân hậu màu trắng hoán đổi vị trí cho các quân hậu màu đen? Biết rằng các hậu
quân trắng đen đi luân phiên nhau, và trong mỗi nước đi chỉ 1 quân hậu di chuyển.
Quân hậu có thể đi chéo, đi ngang hoặc dọc với số lượng ô tùy ý miễn là trên đường
đi của nó không có quân hậu nào chắn ngang.
S. Tokarev,
M1978. Phân giác góc BAD, BCD của tứ giác nội tiếp ABCD cắt nhau tại K
nằm trên đường chéo BD. Điểm M là trung điểm của BD. Đường thẳng song song
với với AD và qua điểm C cắt tia AM tai P , nằm ngoài tứ giác. Chứng minh rằng
DP = DC.
V. Shmarov.
M1979. Trên một đường phố thẳng đặt một vài đèn tín hiệu giao thông sao cho
với một đèn tín hiệu thì nó có số nguyên dương phút bật màu đỏ hoặc màu xanh như
nhau, nhưng hai đèn khác nhau thì số phút này có thể khác nhau. Một tài xế ô tô điều
khiển xe của mình trên con phố vào mỗi thời điểm hoặc là đi với vận tốc cố định, hoặc
là dừng lại khi đèn đỏ bật. Anh ta nghiên cứu chế độ làm việc của các đèn tín hiệu
rồi khẳng định rằng anh ta có thể đi từ đầu đến hết tuyến đường mất 30 hay 32 phút
nhưng không thể đi trong 31 phút. Liệu người tài xế phát biểu như thế liệu có chính
xác không.
I. Bogdanov.
M1980. Chứng minh rằng bất kì hình đa giác lồi đối xứng tâm với diện tích bằng
1 có thể được đặt trong một hình đa giác đối xứng tâm có diện tích là 4/3.
V. Dolnikov.