Các bài toán tạp chí Kvant 2012 - Dong Thap in South Vietnam • Portal

M1987. Cho một khối thập diện đều và khối hình thập nhị diện đều với các
khoảng cách từ tâm đến các cạnh bên tương ứng bằng nhau. Thể tích hình nào lớn
hơn? Hãy chứng minh điều này.
A Zaslavskij.
M1988. Với các số tự nhiên a nào thì tồn tại các số nguyên không âm k, m, n thỏa
mãn đẳng thức: a m 10 x + a n = a k , với x là số chữ số của a n viết trong hệ thập phân.
V. Senderov.
M1989. Trong vương quốc nọ có N thành phố và n con đường. Mỗi con đường
nối liền 2 thành phố bất kì, và từ thành phố này có thể đi đến một thành phố khác
trên các con đường đó. Mỗi thành phố có các người đưa thư, và vào đầu năm mới một
trong các thành phố gửi qua mỗi thành phố làng giềng một người đưa thư (thành phố
gọi láng giềng nếu nối với nhau trực tiếp bởi 1 con đường mà không qua thành phố
trung gian). Quá trình gửi người đưa thư sẽ dừng lại nếu thành phố này còn lại lượng
người đưa thư ít hơn so với số thành phố láng giềng của nó.
a) Sau một vài năm thì quá trình gửi ngườii đưa thư dừng lại. Chứng tỏ rằng các
thành phố gửi người đưa thư nếu như được chọn cách khác thì quá trình vẫn dừng lại,
dưới điều kiện số lượng người đưa thư hữu hạn trong mỗi thành phố không phụ thuộc
vào cách chọn thành phố.
b) Sau năm vài năm thì số lượng người đưa thư của từng thành phố quay trở lại như
cũ. Hỏi vương quốc có ít nhất là bao nhiêu người đưa thư.
Y. Bogdanov.
1990*. Cho tam giác ABC trên đường kéo dài của BC về phía C lấy điểm X.
Đường tròn nội tiếp tam giác ABX và ACX cắt nhau tại P, Q. Chứng minh rằng
đường thằng P, Q luôn đi qua một điểm cố định không phụ thuộc vào vị trí của X.
L. Emelianov.