Các bài toán tạp chí Kvant 2012 - Dong Thap in South Vietnam • Portal

M2016. Hình đa diện lồi 2n mặt (n ≥ 3) , và tất cả các mặt của nó là tam giác.
Tìm số đỉnh nhỏ nhất, mà tại đỉnh đó là đầu mút của của đúng 3 cạnh.
A. Garber.
M2017. Hình vuông kích thước 3000 × 3000 được phân hoạch tùy ý thành các
đôminô (là hình chữ nhật kích thước 1 × 2).
a. Chứng minh rằng, có thể tô màu các đôminô bằng 3 màu sao cho số đôminô của
mỗi màu đều bằng nhau và mỗi đôminô có không nhiều hơn 2 đôminô cùng màu kề
với nó (các đôminô được xem là kề nếu chúng chứa ô có chung cạnh).
b. Chứng minh rằng có thể tô màu các đôminô bằng 4 màu sao cho, số đôminô của
mỗi màu đều bằng nhau và không có hai đôminô cùng màu kề nhau.
A. Pastor.
M2018. Chứng minh rằng nếu số nguyên dương N được biểu diễn dưới dạng tổng
của 3 số chính phương mà mỗi số chia hết cho 3, thì nó cũng biểu diễn được dưới dạng
tổng của 3 số chính phương mà mỗi số không chia hết cho 3.
P. Kozlov.
M2019. Đường tròn ω tiếp xúc hai cạnh bằng nhau AB, AC của tam giác cân
ABC và cắt cạnh BC tại K, L. Đoạn AK cắt đường tròn ω lần thứ 2 tại M. Điểm P
và Q tương ứng đối xứng với điểm K qua điểm B và C. Chứng minh rằng đường tròn
ngoại tiếp tam giác P MQ tiếp xúc với đường tròn ω.
V. Filimonov.
M2020*. Biết rằng đa thức (x + 1) n − 1 chia hết cho đa thức P (x) =
x k + c(k − 1)x ( k − 1) + ... + c1x + c0 nào đó có bậc k chẵn và các hệ số c0, c1, ..., ck−1 là
số nguyên lẻ. Chứng minh rằng n chia hết cho k + 1.
A. Garber.