Các bài toán tạp chí Kvant 2012 - Dong Thap in South Vietnam • Portal

Đề ra kì này - Tạp chí Kvant 05-2004
Nhóm dịch thuật Kvant - http://mathvn.org
05 - 2010
M1921. Trên cạnh lớn nhất AB của tam giác ABC lấy các điểm M, N sao cho
BC = BM, CA = AN, trên cạnh CA, BC lấy các điểm P và Q sao cho P M||BC,
QN||CA. Chứng minh QC = CP .
V. Proizvolov.
M1922. Chiếc bàn bi-da có hình đa giác (không nhất thiết phải lồi), có các cạnh
kề nhau vuông góc với nhau. Mỗi đỉnh của đa giác chính là lỗ mà các viên bi-da có thể
rơi vào. Từ một đỉnh với góc trong là 90 ◦ , một quả cầu được đánh ra và sẽ bị phản xạ
nếu gặp cạnh của đa giác theo luật góc tới bằng góc phản xạ. Chứng minh rằng quả
cầu sẽ không bao giờ trở lại vị trí ban đầu.
A. Kanel-Belov.
M1923. Trên mặt phẳng cho trước N điểm phân biệt. Biết rằng trong số các
khoảng cách giữa từng cặp điểm thì có không lớn hơn n khoảng cách khác nhau.
Chứng tỏ N ≤ (n + 1) 2 .
V. Dolnikov.
M1924. Cho ba số nguyên dương sao cho tích của bất kì hai số nào cũng chia hết
cho tổng của hai số đó. Chứng minh rằng ba số tự nhiên đã cho có một ước chung lớn
hơn 1.
S. Berlov.
M1925. Một mục tiêu di động nằm ở một trong n cái lỗ phân bố thành một dãy.
Các lỗ được khép kín để vào mọi thời điểm không thể thấy được nó ở đâu. Để bắn
trúng thì cần bắn vào lỗ mà mục tiêu vào thời điểm bắn nằm trong đó. Nếu mục tiêu
không nằm ở lỗ tận cùng bên phải thì sau mỗi lần bắn nó lại dịch sang một lỗ bên