Các bài toán tạp chí Kvant 2012 - Dong Thap in South Vietnam • Portal

A. Zaslavskij
M2048. Tìm số tự nhiên lớn nhất k sao cho tồn tại số tự nhiên n > 1 để bất kì
các số n, n 2 , ..., n k đều có thể biểu diễn được dưới dạng x 2 + y 2 + 1, với x, y là các số
nguyên.
V. Senderov
M2049. Từ hình bát diện đều với cạnh là 1 cắt bỏ ở sáu góc đỉnh 6 hình chóp với
đáy vuông có cạnh bằng 1/3 và cuối cùng nhận được một đa diện với các mặt là hình
vuông và hình lục giác đều. Hỏi có thể lấp kín không gian bằng các bản sao của đa
diện này hay không?
A. Kanel.
M2050. Trong giải đấu bóng chuyền vòng tròn một lượt (không hòa) có sự tham
dự của 2 n đội tuyển. Đội ở vị trí thứ nhất được gọi là đội "vô địch". Những đội gọi là
"xấu" nếu đã từng thắng đội "vô địch". Người ta tiến hành tiếp giải đấu thứ hai theo
cách thức olympic (thi loại trực tiếp theo vòng đấu) với giả thiết kết quả trận đấu giữa
hai đội nào đó nếu xảy ra ở giải sau cũng giống như kết quả hai đội đó dấu ở giải đầu.
Chứng tỏ rằng có thể sắp xếp các trận đấu ở giải đấu thứ hai để đội "vô địch" ở giải
đầu chiếm giải nhất một lần nữa với điều kiện các đội "xấu" bị thua và bị loại ngay từ
hai vòng đầu.
B. Frenkin, L. Ostroumova.