Các bài toán tạp chí Kvant 2012 - Dong Thap in South Vietnam • Portal

Đề ra kì này - Tạp chí Kvant 01-2005
Nhóm dịch thuật Kvant - http://mathvn.org
06 - 2010
M1936. Chiều rộng bé nhất của một băng giấy vô hạn là bao nhiêu để có thể cắt
ra một tam giác bất kì có diện tích là 1.
D. Semenov.
M1937. Các đường tròn S1, S2, S3 đôi một tiếp xúc ngoài nhau. Gọi A, B, C lần
lượt là các tiếp điểm của S1 và S2, S1 và S3, S2 và S3. Đường thẳng AB cắt lần thứ 2
S2 và S3 tại D và E. Đường thẳng DC cắt lần thứ 2 S3 tại F . Chứng minh tam giác
DEF vuông.
I. Rudakov.
M1938. Đối với các số thực x1, x2, ..., xn chứng minh rằng
N. Osipov.
max{x1, x2, ..., xn, −x1 − ... − xn} ≥ |x1| + ... + |xn|
.
2n − 1
M1939. Các đỉnh của 50 hình chữ nhật chia đường tròn ra làm 200 cung bằng
nhau. Chứng minh rằng giữa chúng có ít nhất hai hình chữ nhật bằng nhau.
V. Proizvolov.
M1940. Giả sử a là số nguyên dương. Chứng minh rằng phương trình x(x+a) = y 2
a. với a = 1, 2, 4 không có nghiệm nguyên dương.
b. với những số nguyên dương a khác, hãy tìm các nghiệm của phương trình này.
V. Senderov.
M1941. Trên mặt phẳng có 44 con hoàng tước, mỗi con xem như một điểm và
con này có thể chắn hướng nhìn của con khác. Sau một lần ghé thăm nọ của người thợ
săn các con hoàng tước này bay tứ tung và bay đến một vị trí khác trên mặt phẳng
sau cho mỗi con chỉ nhìn thấy được đúng 10 con khác. Chứng minh rằng số lượng các
con hoàng tước trên mặt phẳng này bị suy giảm vì sự ghé thăm của người thợ săn.
G. Galperin, V. Senderov.
M1942. Trong góc nhọn với đỉnh O cho trước hai điểm A, B. Viên bi-da có bị
đánh từ A, phản xạ hoặc trên một cạnh của góc đã cho tại điểm M hoặc tại N trên