Các bài toán tạp chí Kvant 2012 - Dong Thap in South Vietnam • Portal

M1850. Các số tự nhiên từ 1 đến n(n + 1) được viết thành các dãy liên tiếp bằng
màu đỏ và màu xanh. Với n số đầu tiên màu đỏ, tiếp đến 1 số màu xanh, rồi n − 1 số
màu đỏ, tiếp đến 2 số màu xanh, và cứ như vậy đến hết. Chứng minh rằng tổng của
các số xanh lớn gấp 2 lần tổng của các số màu đỏ.
V. Proizvolov.
M1851. Trên mặt phẳng tọa độ vẽ các trục Ox, Oy và đồ thị hàm y = 1 , các tỉ
8x
lệ xích trên các trục không được vẽ. Chỉ dùng compa hãy xác định điểm (1, 1).
S. Tokarev.
M1852. Cho số tự nhiên n, trên khoảng (n 2 , n 2 + n) chọn các số tự nhiên a, b khác
nhau. Chứng minh rằng trong đoạn này không có ước số nào của ab mà khác a và b.
S. Ivanov.
M1853. Xét phép biến đổi như sau:
i. Lấy lũy thừa với mũ tự nhiên nào đó;
ii Loại bỏ đi hai chữ số cuối cùng, nhân số nhận được với 3 và với cộng số tạo thành
từ các chữ số còn lại.
Hỏi liệu sau một số các phép biến đổi như vậy có thể nhận được số 82 từ số 81.
K. Kokhas.
M1854. Đặt f(x) là đa thức bậc m ≥ 2 với hệ số nguyên. Chứng minh rằng tập
giá trị của đa thức f(x) tại các điểm nguyên chứa một cấp số nhân vô hạn khi và chỉ
khi f(x) = a(bx + c) m (a, b, c là các số nguyên, a �= 0, b �= 0).
N. Osipov.
M1855. Các mặt phẳng song song với các mặt của hình hộp chữ nhật chia nó ra
thành các hình hộp khác nhỏ hơn và tô màu các hình hộp này theo kiểu bàn cờ vua
với hai màu trắng đen, sao cho tổng thể tích các khối màu đen bằng tổng thể tích của
các khối màu trắng. Chứng minh rằng, từ những khối màu đen hợp thành hình hộp P
và từ những khối màu trắng hợp thành hình hộp Q thì P và Q bằng nhau.
V. Proizvolov.