Các bài toán tạp chí Kvant 2012 - Dong Thap in South Vietnam • Portal

Đề ra kì này - Tạp chí Kvant 04-2006
Nhóm dịch thuật Kvant - http://mathvn.org
04 - 2009
M2006. Đồ thị hàm số tuyến tính cắt đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) và đồ thị
bình phương của hàm tuyến tình này nhận được từ hàm số y = f(x) bằng cách tịnh
tiến xuống một lượng p. Hãy tìm số p.
N. Agakhanov.
M2007. Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm I. Trên đoạn AI và IC
lấy điểm M và N theo thứ tự sao cho ∠MBN = 1/2∠ABC. Chứng minh rằng
∠MDN = 1/2∠ADC.
L. Emelianov.
M2008. Gọi ước số của n là nhỏ nếu nó không vượt quá n/10000, và lớn trong
trường hợp ngược lại. Tập hợp các số n có hữu hạn hay không nếu tích của các ước lớn
của số n khác với chính n và bằng tích của các ước số nhỏ của nó.
A. Golovanov.
M2009. Tồn tại hay không n > 1 và các số đôi một khác nhau a1, a2, ..., an, b1,
b2, ..., bn để mỗi số trong chúng là nghiệm của một trong số các đa thức x 2 − a1x + b1,
x 2 − a2x + b2, ..., x 2 − anx + bn?
A. Badzian.
M2010. Với các số nguyên dương m và n. Kí hiệu F (m, n) là số các hình dạng ô
vuông liên thông trong hình chữ nhật kích thước m × n . Chứng rằng F (m, n) chẵn khi
n(n + 1)
và chỉ khi .
2
m(m + 1)
chẵn. (Hình dạng ô vuông liên thông là một tập không
2
rỗng có ô vuông kiểu bàn cờ, sao cho từ bất kì ô có thể đi qua bất kì ô khác của tập
hợp này theo từng ô một, mỗi lần qua các ô chung cạnh với nhau.)
A. Badzian.