Các bài toán tạp chí Kvant 2012 - Dong Thap in South Vietnam • Portal

A. Zaslavskij.
M1879. Sắp đặt các quả cân có khối lượng 1g, 2g, 3g, ..., 100g vào đĩa bên trái và
đĩa bên phải của một cái cân. Với một quả cân đặt trên một đĩa ta gọi số các quả cân
nhẹ hơn quả cân đó ở đĩa còn lại gọi là trị số của quả cân đó. Chứng minh rằng khối
lượng hai đĩa cân bằng khi và chỉ khi tổng trị số các quả cân ở đĩa bên phải bằng tổng
trị số các quả quân ở đĩa bên trái.
V. Proizvolov.
M1880. Trên đường thẳng cho 2k − 1 đoạn thẳng và 2k − 1 đoạn thẳng màu trắng.
Biết rằng bất kì đoạn màu trắng nào giao với ít nhất k đoạn thẳng màu đen, và bất
kì một đoạn màu đen giao với ít nhất k đoạn màu trắng. Chứng minh rằng, có ít nhất
một đoạn thẳng màu trắng giao với tất cả các đoạn màu đen, có một đoạn màu đen
giao với tất cả các đoạn màu trắng.
V. Dolnikov.
S. Berlov.
M1881. Cho a, b, c là các số dương có tổng bằng 1, chứng minh bất đẳng thức
1 1 1
+ +
1 − a 1 − b 1 − c
2 2 2
≥ + +
1 + a 1 + b 1 + c .
M1882. Ania và Boria có hai băng giấy dài vô hạn. Ban đầu trên một băng giấy
được viết chữ A và băng còn lại viết chứ B. Mỗi phút một trong hai bạn (không cần
phải tuần tự nhau) viết thêm tiếp vào sau từ trên băng giấy của mình từ ở băng giấy
của người kia. Chứng minh rằng sau một ngày đêm, từ trên băng giấy của Ania có thể
chia đôi thành hai phân, đổi vị trí lại cho nhau và nhận được từ mới cũng là từ được
viết ở phút trước đó.
E. Cherepanov.
M1883. Giải phương trình trong tập số nguyên
a. x 4 − 2y 2 = 1; b. x 2 − 2y 4 = 1;
c. x 4 − 8y 2 = 1; d. x 2 − 8y 4 = 1;
V. Senderov.
M1884. a. Một hình vuông được cắt ra thành các hình vuông nhỏ, một hình được
tô màu đỏ, còn lại được tô xanh. Chu vi của mỗi hình vuông xanh là một số nguyên.
Chứng tỏ chu vi của hình vuông đỏ cũng là một số nguyên.
b. Tam giác đều được cắt ra thành các tam giác đều nhỏ, một hình được tô màu đỏ,
còn lại được tô xanh. Chu vi của mỗi tam giác xanh là một số nguyên. Chứng minh
chu vi của tam giác màu đỏ cũng là một số nguyên.
V. Proizvolov.
M1885. Một bến đậu xe là một dãy các n chỗ đậu, được đánh số từ 1 đến n, và
lối đi vào từ bên phải. Trước lối vào có n xe chuẩn bị lần lượt vào bến. Mỗi lái xe bắt