Các bài toán tạp chí Kvant 2012 - Dong Thap in South Vietnam • Portal

Đề ra kì này - Tạp chí Kvant 06-2006
Nhóm dịch thuật Kvant - http://mathvn.org
04 - 2009
M2021. Trong phòng có n người, giữa họ có các cặp quen nhau. Biết rằng nếu
trong phòng còn lại 98 người thì luôn luôn có thể phân hoạch họ ra thành 49 cặp quen
nhau. Số tối thiểu các cặp quen nhau trong phòng này là bao nhiêu nếu
a. n = 99, b. n = 100.
S. Berlov.
M2022. Cho một đường tròn, điểm A nằm trên và điểm M nằm trong đường tròn
này. Dây cung BC đi qua điểm M. Chứng minh rằng đường tròn đi qua trung điểm
các cạnh của tam giác ABC như vậy tiếp xúc với một đường tròn cố định.
V. Protasov.
M2023. Giả sử a,b,c là các số nguyên khác 0 và có tổng bằng 0. Chứng minh rằng
a. (ab) 5 + (bc) 5 + (ca) 5 chia hết cho (ab) 2 + (bc) 2 + (ca) 2 .
b. a n + b n + c n chia hết cho a 4 + b 4 + c 4 với bất kì số tự nhiên n chia cho 3 dư 1.
c. (ab) n + (bc) n + (ca) n chia hết cho (ab) 2 + (bc) 2 + (ca) 2 với bất kì số tự nhiên n chia
3 dư 2.
V. Proizvolov, V. Senderov.
M2024. Tồn tại hay không một hình đa giác đều mà trong mỗi cạnh bằng một
đường chéo nào đó, và mỗi đường chéo bằng một cạnh nào đó.
B. Frenkin.
M2025*. Các số tự nhiên a, b, c, d lập thành một cấp số cộng tăng.
a. Chứng minh rằng, với bất kì số n lẻ thì tích abcd có thể là số lũy thừa bậc n.
b. Chứng minh rằng, tích abcd không thể là số chính phương.
V. Senderov.