Các bài toán tạp chí Kvant 2012 - Dong Thap in South Vietnam • Portal

trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng P, O, I nằm trên một đường thẳng.
A. Zaslavskij.
M1820. a. Với hai số tự nhiên x, y thì tận cùng của số x 2 + xy + y 2 trong hệ thập
phân bằng 0. Chứng minh rằng hai chữ số tận cùng của nó bằng 0.
b. Với hai số tự nhiên x, y sao cho x 4 + x 2 y 2 + y 4 chia hết cho 11. Chứng minh rằng số
này cũng chia hết cho 14641.
V. Proizvolov.
M1821*. Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n thì
�
�
�{ n
} − {n } + {n
1 2 3 } − ... − (−1)n { n
n }
�
�
� < √ 2n
V. Barzov.
M1822. Trong một giải đấu bóng có sự tham gia của 2N đội tuyển, mỗi đội sẽ
đấu với lần lượt mỗi đội còn lại đúng một lần. Ban tổ chức chia giải đấu thành 2N − 1
lượt đấu. Một lần nọ do có sự vô ý, họ đã xếp lịch thi đấu ở một lượt mà không có kế
hoạch cho các lượt tiếp theo. Có thể hay không xảy ra trường hợp mà các lượt đấu còn
lại không thể sắp tiếp được do sẽ có trận lặp lại giữa hai đội đã đấu với nhau, nếu:
a. N = 5;
b. N = 6;
c. N = 8;
d. N là số tự nhiên bất kì.
Y. Akulich.
M1823. Cho f(x) là đa thức bậc 3. Giả sử f(n) là một số lập phương với mọi số
tự nhiên n. Chứng minh rằng f(x) = (ax + b) 3 với a, b là các số nguyên.
N. Osipov.
M1824. Cho A1(x1, � y1), A2(x2, y2), ..., An(xn, yn) là các điểm trên mặt phẳng tọa
x1 + x2 + ... + xn
độ, n ≥ 2 với M
,
n
y1
�
+ y2 + ... + yn
là trọng tâm của chúng.
n
Kí hiệu C là tâm của đường tròn có bán kính nhỏ nhất r, trong nó chứa các điểm
A1, A2, .., An và d là khoảng cách giữa M và C. Chứng minh rằng d n − 2
≤
r n .
I.Protacov, G. Radzievskij.
M1825. Bề mặt của khối lập phương kích thước 5 × 5 × 5 có thể được bao phủ
hoàn toàn bởi 150 tờ giấy dạng hình vuông đơn vị. Trên mỗi mặt của hình lập phương
này có thể được phủ bởi 25 hình vuông đơn vị. Chứng minh rằng có thể phủ 150 tờ
giấy hình vuông đơn vị lên bề mặt hình lập phương sao cho không có mặt nào của nó
được phủ bởi 25 tờ giấy hình vuông đơn vị.
V. Proizvolov.