Các bài toán tạp chí Kvant 2012 - Dong Thap in South Vietnam • Portal

Đề ra kì này - Tạp chí Kvant số 05-2009
Nhóm dịch thuật Kvant - http://mathvn.org
11 - 2009
M2146. Trên mặt phẳng tọa độ vẽ đồ thị của 2008 tam thức bậc hai. Có thể hay
không với mỗi đồ thị trong chúng thì tồn tại một đường thẳng sao cho có điểm chung
với các đồ thị còn lại ngoại trừ đồ thị đó ra.
N. Agakhano, Y. Bogdanov.
M2147. Trong bảng kẻ ô vuông vô hạn, viết các số thực vào các ô sao cho tất cả
các cạnh vô tận nằm ngang cũng như nằm dọc chứa các dãy số có chu kỳ. Chứng minh
có nhiều vô hạn các dãy nằm ngang với chu kì cơ sở khác nhau khi và chỉ khi có nhiều
vô hạn các dãy số nằm dọc với chu kì cơ sở khác nhau.
E. Znak.
M2148. Trên đường tròn đặt các số 1, 2, ..., 100 theo một thứ tự nào đó. Petia tính
100 tổng của tất cả các bộ ba số liên tiếp sắp trên đường tròn và viết lên bảng số bé
nhất trong số các tổng này. Hỏi số lớn nhất có thể viết lên bảng bằng bao nhiêu?
P. Kozhevnikov.
M2149. Trong tam giác ABC các cạnh AB, BC bằng nhau. Điểm D nằm trong
tam giác sao cho ∠ADC = 2∠ABC. Chứng minh hai lần khoảng cách từ điểm B đến
phân giác ngoài của góc ADC bằng AD + DC
S. Berlov.
M2150. Trong một đất nước nọ, tất cả các con đường đều một chiều. Mỗi con
đường nối hai thành phố và không đi qua thành phố nào khác nữa. Người ta thống kê
với mỗi thành phố số liệu tổng dân số của các thành phố mà từ đó có con đường dẫn
tới thành phố đang xét; và số liệu tổng dân số các thành phố mà thành phố đang xét
có con đường dẫn đến. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một thành phối số liệu thứ
nhất không ít hơn số liệu thứ 2.
N. Gravin.
M2151. Cho tam giác số
1
1 1 1
1 2 3 2 1
1 3 6 7 6 3 1
1 4 10 16 19 16 10 4 1