Các bài toán tạp chí Kvant 2012 - Dong Thap in South Vietnam • Portal

M2090. Giả sử c1, c2, ..., cn là các số thực. S1 = c1, S2 = c1 + c2,...,Sn = c1 + c2 +
... + cn. M, n là số lớn nhất và nhỏ nhất của S1, S2, ..., Sn. Chứng minh các bất đẳng
thức:
1.
m ≤ c1 + 1
2 c2 + ... + 1
n cn ≤ M.
2.
nm ≤ nc1 + (n − 1)c2 + ... + cn ≤ nM.
3. Nếu α1 ≥ α2 ≥ ... ≥ αn > 0 thì
A. Egorov.
α1m ≤ α1c1 + α2c2 + ... + αncn ≤ α1M.
M2091. Chứng minh rằng với bất kì số tự nhiên n > 2 và m tồn tại n số tự nhiên
đôi một nguyên tố cùng nhau lớn hơn 10 10 sao cho tổng lũy thừa bậc m của chúng chia
hết cho tổng của chúng.
V. Senderov.
M2092. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ diện ABCD lấy các điểm
K, L, M, N tương ứng. Các điểm K ′ , L ′ , M ′ , N ′ đối xứng với các điểm K, L, M, N
tương ứng qua các trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh thể tích
của tứ diện KLMN và K ′ L ′ M ′ N ′ bằng nhau.
P. Kozhenikov.
M2093. Khi nhà ảo thuật nhắm mắt lại, một khán giả lên sân khấu và sắp N
đồng xu thành dãy, cái thì lật xấp, cái lật ngửa theo ý của mình rồi viết vào tờ giấy
một số bất kì từ 1 đến N. Người trợ lý của nhà ảo thuật yều cầu khán giả nói cho
anh ta biết số được viết vào tờ giấy, rồi anh ta chọn ra một đồng xu trong dãy đã sắp
và lật ngược nó lại. Khi nhà ảo thuật mở mắt ra, nhìn vào dãy đồng xu lập tức đoán
được chính xác số được viết vào tờ giấy. Tìm tất cả các số N để màn trình diễn của
ảo thuật gia và người trợ lý được thành công.
S. Gribok.
M2094. Trên mặt phẳng vẽ hai đa giác P, Q. Với bất kì cạnh của P thì Q có thể
bị kẹp giữa hai đương thẳng song song với canh đó. Kí hiệu h là khoảng cách giữa hai
đường thằng song song và l là độ dài của cạnh. Tính tổng tất cả các tính lh đối với
các cạnh của P , được kết quả kí hiệu là (P, Q). Chứng minh rằng (P, Q) = (Q, P ).
D. Zvonkin
M2095. Trước mặt Alexey có 100 cái hộp đóng kín, trong mỗi hộp có chứa một
hình lập phương màu xanh hoặc màu đỏ. Alexey ban đầu có 1 rúp 1 , anh ta bắt đầu
tiến tới một cái hộp đặt một số tiền (có thể là một số không nguyên kô-pếc nhưng
không nhiều hơn số tiền anh ta đang có hiện tại) và đoán màu của khối lập phương
1 Đơn vị tiền tệ của Nga, 1 rúp=100 kô-pếc