Các bài toán tạp chí Kvant 2012 - Dong Thap in South Vietnam • Portal

M1804. Chứng minh rằng với a, b, c là các số dương thì
(Nam Triều Tiên)
a
√ a 2 + bc +
b
√ b 2 + ca +
c
√ c 2 + ab ≥ 1
M1805. Tại một cuộc thi Olympic Toán có sự tham gia của 21 bạn nam và 21 bạn
nữ. Biết rằng:
- Mỗi bạn chỉ giải không quá 6 bài.
- Đối với mỗi bạn nam và mỗi bạn nữ thì tồn tại tối thiểu một bài mà cả hai đều giải
được.
Chứng minh tồn tại một bài toán mà nó được giải bởi 3 bạn nam và 3 bạn nữ.
(CHLB Đức)
M1806. Xét bảng số có chiều n × n sao cho với bất kì n số tự nhiên lấy ra theo
từng hàng hay theo từng cột đều cho một tổng duy nhất. Trong mỗi hàng xác định số
bé nhất, và giữa n số bé nhất được chọn này chọn tiếp số lớn nhất, đặt là M. Trong
mỗi cột xác định số lớn nhất, và giữa n số lớn nhất được chọn này chọn tiếp số bé
nhất, đặt là m. Chứng minh M = n.
V. Proizvolov.
M1807. Với những số tự nhiên n nào thì có thể chia một tam giác ra thành n đa
giác lồi với số cạch khác nhau.
A. Zalavskij.
M1808. Giải các phương trình trong tập số tự nhiên sau:
a. x! + y! = z!!;
b. x!y! = z!!.
với z!! là tích các só tự nhiên cùng tính chẵn lẽ với z từ 1 đến z.
V. Senderov.
M1809. Chỉ sử dụng thước thẳng tìm tâm của:
a. hai đường tròn giao nhau;
b. hai đường tròn tiếp xúc (trong và ngoài);
c. hai đường tròn đồng tâm.
Y. Vainshtein.
M1810. Xét đa diện lồi đa lồi với mỗi đỉnh là đầu mút của một số lẻ các cạnh. Mội
mặt của nó được tô bằng màu đỏ, các mặt còn lai tô màu xanh. Chu vi của mỗi mặt
xanh bằng 1. Chứng minh rằng chu vi của mặt đỏ cũng bằng 1.
V. Proizvolov.