Các bài toán tạp chí Kvant 2012 - Dong Thap in South Vietnam • Portal

Đề ra kì này - Tạp chí Kvant 05-2000
05 - 2008
M1741. Với mỗi số tự nhiên từ 000000 đến 999999, ta làm như sau: nhân chữ chữ
số đầu tiên với 1, nhân chữ số thứ 2 với 2,v.v..., nhân chữ số sau cùng với 6 để nhận
được một số mới. Hỏi có bao nhiêu số mới nhận được chia hết cho 7.
N. Vacilev, B. Ginzburg.
M1742. Viết các số tự nhiên vào một bảng vuông n × n ô, sao cho hai số bất kì
nếu kề nhau theo hàng hoặc cột thì sai khác nhau 1 đơn vị. Chứng tỏ rằng tồn tại một
số tự nhiên sao cho hoặc là mỗi hàng hoặc là mỗi cột của bảng vuông đều có chứa nó.
V. Proizvolov.
M1743. Tính tổng
� �
1
+
3
� �
2
+
3
(ở đây [a] là kí hiệu phần nguyên của số a)
A. Golovanov.
� � � �
2
1000
2 2
+ ... + .
3
3
M1744. Trên một bàn hình chữ nhật đặt những tấm bìa vuông với k màu sắc
khác nhau, sao cho các cạnh của chúng song song với các cạnh của chiếc bàn. Trong k
tấm bìa có màu khác nhau thì bất kì 2 trong số các tấm bìa đó có thể đóng vào bàn
bằng 1 cái đinh. Chứng tỏ rằng có một màu nào đó sao cho tất cả các tấm bìa màu
này có thể đóng vào bàn bởi 2k − 2 cái đinh.
V. Dolnikov.
M1745. Một bàn cờ 2n × 2n ô đặt các quân cờ màu trắng và đen vào những trí
nào đó. Đầu tiên người ta lấy ra khỏi bàn cờ tất cả các quân đen nằm ở một cột với
một quân trắng, sau đó tiếp tục lấy ra tất cả các quân trắng mà cùng hàng với một
quân đen trong những quân đen còn lại. Chứng minh rằng hoặc là các quân đen hoặc
là các quân trắng còn lại trên bàn cờ không nhiều hơn n 2
S. Berlov.
M1746. Trên một đường tròn đặt n điểm được tô xanh và n điểm được tô đỏ sao
cho chúng chia đường tròn ra làm 2n cung bằng nhau. Mỗi điểm màu đỏ là trung điểm
của cung với 2 điểm màu xanh làm đầu mút. Chứng tỏ rằng mỗi điểm màu xanh cũng