Các bài toán tạp chí Kvant 2012 - Dong Thap in South Vietnam • Portal

Đề ra kì này - Tạp chí Kvant số 04-2009
Nhóm dịch thuật Kvant - http://mathvn.org
10 - 2009
M2139. Có thể hay không khi tô màu các số tự nhiên bằng 2009 màu khác nhau,
sao cho mỗi màu được sự dụng vô hạn lần và không có 3 số nào được tô bởi 3 màu
khác nhau sao cho số lớn nhất bằng tích của hai số còn lại.
N. Agakhanov.
M2140. Tám ô trên đường chéo chính bàn cờ được gọi là hàng rào. Con xe đi trên
bàn cờ, đi tới mỗi ô với số lần không quá 1 và không đi tới ô nằm trên hàng rào. Hỏi
số lần vượt rào nhiều nhất có thể của nó là bao nhiêu?
P. Zhenodarov.
M2141. Phân giác góc ∠ABC cắt đoạn AC tại D, và cắt ω là đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC tại E. Từ điểm F ∈ ω, đoạn DE được nhìn dưới một góc vuông
(DF E = 90 ◦ ). Chứng minh rằng đường thằng đối xứng với BF qua BD cắt AC tại
trung điểm của nó.
L. Emelianov.
M2142. Hàm số
f(x) = cos x cos x x x
cos ... cos
2 3 2009
�
đổi dấu bao nhiêu lần trên đoạn 0, 2009π
�
.
2
B. Trushin.
M2143. Một tự đồng cấu cây, nghĩa là ánh xạ xác định trên tập các đỉnh của một
cây vào chính nó, qua đó nếu hai đỉnh kề nhau thì ảnh của chúng cũng là hai đỉnh kề
nhau. Chứng minh nếu không có đỉnh nào giữ nguyên qua phép đồng cấu thì có hai
đỉnh hoán đổi cho nhau qua phép đồng cấu này.
V. Dolnikov.
M2144. Một 100 hố trú ẩn được sắp quanh một hào quân sự. Một trong các hố
đó có một lính bộ binh trú ẩn ở đó. Một loạt đạn gồm 4 viên đại bác bắn vào 4 hố trú
ẩn kề nhau. Nếu như trong mỗi hố bị đạn bắn vào thì nếu ít nhất một hố trong các hố
bị đạn bắn vào có người lính bộ binh, trận chiến kết thúc. Nếu điều này chưa xảy ra
thì người lính bộ binh sẽ chạy từ hố của mình sang một trong hai hố kề cạnh. Hỏi phải
bắn tối thiểu là bao nhiêu loạt đạn để chắc chắn có thể tiêu diệt được người lính bộ