Các bài toán tạp chí Kvant 2012 - Dong Thap in South Vietnam • Portal

Đề ra kì này - Tạp chí Kvant 02-2000
02 - 2008
M1721. Có tồn tại hay không các số tự nhiên x, y thoả mãn x 2 − 3y 2 = 2000?
V. Senberov.
M1722. Cho a, b là hai số tự nhiên qua điểm một đường thẳng đi qua điểm (a, b)
cắt góc toạ độ thứ nhất tạo thành một tam giác vuông.
a. Chứng minh rằng số điểm với toạ độ nguyên nằm trong hoặc trên cạnh của tam
giác trên lớn hơn 2ab + a + b.
b. Chứng minh rằng qua điểm (a, b) có thể dựng một đường thẳng cắt góc toạ độ thứ
nhất toạ thành một tam giác vuông, sao cho trong hoặc trên cạnh của tam giác này
có tất cả là 2ab + a + b + 1 điểm với toạ độ nguyên.
M. Panov.
M1723. Trên mặt phẳng cho n vector được tô đỏ và n vector được tô xanh có
chung một điểm gốc. Các vector màu đỏ được đánh số từ 1 đến n. Theo thứ tự đánh
số các vector đỏ lần lượt quay theo chiều kim đồng hồ và chiếm vị trí của vector màu
xanh gần nhất chưa bị chiếm chỗ cho tới khi các vector mau xanh bị chiếm hết chỗ.
Chứng minh rằng tổng các góc quay không phụ thuộc vào sự đánh số của các vector
màu đỏ.
V. Proizvolov.
M1724. Trong tam giác ABC cho hai đường cao AD, CE cắt nhau tại điểm O
(như hình vẽ). Đường thẳng DE cắt đường thẳng AC tại K. Chứng minh rằng, trung
tuyến BM của tam giác ABC vuông góc với OK.
M. Volchkevich.