Các bài toán tạp chí Kvant 2012 - Dong Thap in South Vietnam • Portal

thể không liên tiếp nhau).
S. Volchenkov.
M1958. Có thể tìm được các cặp số nguyên dương x, y sao cho
a. x 2 + xy + y 2 ,
b. x 2 − xy + y 2 ,
là bình phương của một số nguyên. Chứng minh rằng không thể tìm được các số
nguyên dương x, y để đồng thời x 2 + xy + y 2 , x 2 − xy + y 2 đều là bình phương của một
số nguyên.
V. Proizvolov, V. Senderov.
M1959. Có n tam thức bậc hai với các hệ số là các chữ cái và một cái túi trong
suốt đựng 3n số nguyên dương. Hai người lần lượt tiến hành trò chơi như sau: Trong
mỗi bước của họ chọn từ bao một số và thay nó vào hệ số chữ cái mà chưa được thay
của một tam thức nào đó. Người chơi thứ nhất mong muốn mỗi trong số n tam thức
đều có ít nhất một nghiệm nguyên. Có thể hay không khi người chơi thứ hai (mặc dù
trong bao chứa bất kì những số nào và bất kì trường hợp chơi nào của người thứ nhất)
muốn ngăn chặn điều này nếu:
a. n = 1, b. n = 2, c. n > 2.
N. Agakhanov, V. Senderov.
M1960. Hình chiếu của một điểm nằm trong tứ diện đều xuống các mặt là đầu
mút của các đoạn thẳng có đầu mút còn lại chính là các đỉnh của tứ diện. Bề mặt của
tứ diện bị các đoạn thẳng này phân chia thành 6 miền (mỗi mỗi miền không phẳng
này có dạng gấp). Cặp miền chứa cặp cạnh đối diện nhau của tứ diện thì được tô cùng
màu. Có 3 màu được tô đó là vàng, xanh, đỏ. Chứng tỏ diện tích mỗi phần được tô bởi
mỗi màu bằng nhau.
V. Proizvolov.