Các bài toán tạp chí Kvant 2012 - Dong Thap in South Vietnam • Portal

Đề ra kì này - Tạp chí Kvant 05-2002
Nhóm dịch thuật Kvant - http://mathvn.org
01 - 2009
M1831. Xét một bộ 20 quả cân, khối lượng khác nhau. Giữa bất kì 11 quả cân thì
có thể chọn ra hai quả có tổng khối lượng chung bằng 100g. Chứng minh rằng tổng
khối lượng của tất cả 20 quả cần bằng 1000g.
V. Proizvolov.
M1832. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại
A ′ , B ′ , C ′ . Gọi Q là trung điểm của A ′ B ′ . Chứng minh rằng góc ∠B ′ C ′ C và ∠A ′ C ′ Q
bằng nhau.
A. Zaslavskij.
M1833. Quân xe đi trên bàn cờ theo chiều ngang hoặc dọc một lần đi qua n ô
(n > 1). Quân xe này thực hiện một số lần đi như vậy trên bàn cờ rộng vô hạn rồi trở
về vị trí cũ sao cho nó không đi qua lại những ô mà có "vết" của nó trong mỗi lần đi
trước. Đối với giá trị nào của n thì hình bị bị chặn bởi "vết" của quân xe này có diện
tích bằng 2002.
A. Maleev, S. Volchenkov.
a.
b.
M1834. Chứng minh rằng với các số thực x, y, z thì
F. Shleyfer.
x 6 y 6 + x 6 z 6 + z 6 y 6 + 3x 4 y 4 z 4 ≥ 2(x 3 + y 3 + z 3 )x 3 y 3 z 3
x 6 + y 6 + z 6 + 3x 2 y 2 z 2 ≥ 2(x 3 y 3 + x 3 z 3 + y 3 z 3 )