IPhO-Aufgabensammlung Inhaltsverzeichnis

Andere Näherungen bringen:
mn =
mn =
8
3
8 E
3
2 1
c3 ∆t
l ≈ 7, 8 · 10−34 kg
E1
c 2
Aufgabe 87: Schwingende Linse
2 c∆t
l
5 c∆t 1 + 3 l
≈ 7, 8 · 10 −34 kg
Wir betrachten erst einen Teil des Problems, nämlich die Kraftwirkung einer Lichtquelle auf die
Linse. Die gesamte Lösung erhalten ergibt sich durch lineare Superposition.
Da die Lichtquellen sehr weit voneinander entfernt sind, und der Linsenradius klein im Vergleich
zur Entfernung ist, sind die ankommenden Strahlen näherungsweise parallel und achsennah und
werden in den Brennpunkt gebrochen. Wir nehmen, an dass die Linse nur kleine Schwingungen
vollführt und somit die Änderung der Wellenlänge des Lichtes vernachlässigbar ist. Da das Problem
weiterhin rotationssymmetrisch um die optische Achse ist, sind nur Kraftanteile in Richtung der
optischen Achse zu berücksichtigen. Die horizontale Komponente des Impulses der Photonen
ändert sich in einem Kreisring 2πrdr mit dem Abstand r von optischen Achse gleich stark um:
dF = d dpI
dt
= 2πrIdr
c
(1 − cos arctan r πrIdr r
) ≈
f c
2
f 2
Nun gilt für die Intensität: I = P
4πl 2 und die Gesamtkraft ergibt sich zu:
F = R4 P
16l 2 l f 2 c − R4 P
16l 2 rf 2 c , ll = lr ⇒ F = 0
Für die Gesamtkraft durch beide Lampen gilt im allgemeinen Fall (wenn die linke Lampe um ll
entfernt und die rechte Lampe um lr entfernt ist:
F = R4 P
16l 2 l f 2 c − R4 P
16l 2 rf 2 c , F = 0, wennll = lr
Für den Fall kleiner Auslenkungen (ll = l + δx und lr = l − δx) gilt:
F = R4P 16f 2 −2 −2
(l + δx) − (l − δx)
c
≈ R4P 16f 2c 1
(1 − 2δx
l2 l
− 1 − 2δx
l ) = − R4 P
4f 2 l 3 c δx
Da nach dem zweiten Newtonschen Gesetz F = mδ¨x ist, folgt eine lineare homogene Differentialgleichung
zweiter Ordnung, mit der Lösung:
δ¨x = − R4P 4f 2l3c
ω2 δx ⇒ ω = R2
P
2f l3c 70